Применение теории случайных процессов

1. КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

Данный раздел содержит краткие сведения из теории линейных систем, которые понадобятся при изучении курсов «Статистическая радиотехника» и «Основы теории случайных процессов». Для повторения материала, изложенного в данном подразделе, следует обратиться к учебникам С.И. Баскакова [6] или И.С. Гоноровского [7].

Пусть некоторая система преобразует известную функцию времени  (входной процесс) в выходную функцию времени  (выходной процесс), где  – оператор, определяемый свойствами системы. Схема работы такой системы условно показана на рис. 1.1. В общем случае система может быть многоканальной, имеющей несколько входов и выходов. В этом случае входной и выходной процессы можно рассматривать как векторные процессы. Далее будем оператором называть правило , согласно которому входной процесс  преобразуется в выходной процесс , где процессы  и  в общем случае могут быть векторными.

Система называется линейной, если для нее справедлив принцип суперпозиции, т.е. когда реакция линейной системы на входной процесс  определяется соотношением

                        при любых весовых коэффициентах , , при любых входных процессах ,  (которые могут быть детерминированными или случайными процессами), а также при любых значениях . Формула показывает, что выходной процесс  линейной системы, представляющий собой результат линейного преобразования взвешенной суммы входных процессов , , равен взвешенной сумме результатов преобразования каждого из входных процессов тем же линейным оператором.

Отметим, что из формулы следует, что при нулевом воздействии реакция линейной системы равна нулю, т.е.

.

Например, линейными операторами являются операторы дифференцирования:

, интегрирования:

, умножения на некоторую вполне определенную неслучайную функцию :

, интегрирования с определенной весовой функцией :

и так далее. К линейным системам, например, могут быть отнесены такие радиотехнические устройства, как усилители, фильтры, линии задержки и т.п.

В общем случае система или оператор, определяющий ее свойства, называются нелинейными, если для них не применим принцип суперпозиции. К числу нелинейных относятся такие радиотехнические системы и устройства, как автогенераторы, детекторы, перемножители и др. Практически все радиотехнические системы становятся нелинейными при чрезмерно больших значениях входных сигналов. Например, в линейных усилителях рано или поздно наступает ограничение выходного сигнала при увеличении амплитуды входного. Однако их можно считать линейными для некоторой ограниченной области амплитуд входных сигналов.

В ряде радиотехнических задач приходится иметь дело с операторами , которые представляют собой сумму линейного преобразования входного процесса  и некоторой заданной функции :

,                          или в частном случае константы с:

.                            

Очевидно, что для операторов и не выполняется принцип суперпозиции. Однако в ряде случаев при анализе систем, описываемых , достаточно решить эту задачу только для линейного оператора . Например, известно, что ковариационная функция случайного процесса не меняется при прибавлении к нему детерминированной функции , а его математическое ожидание изменится на  [5]. Поэтому операторы и выделены в отдельный класс и называются линейными неоднородными операторами.

Линейная система называется стационарной (система с постоянными параметрами), если сдвиг входного сигнала приводит к тому же сдвигу выходного сигнала

.

Предположение о постоянстве параметров выполняется для многих радиотехнических систем.

Функция  называется собственной для линейной системы, если она проходит через линейную систему без изменения формы, меняя лишь масштаб и претерпевая задержку. Реакция линейной системы на собственную функцию определяется собственным значением, определяющим изменение масштаба и величину задержки собственной функции на частоте .

Для стационарной линейной системы собственными функциями являются комплексные функции вида

,               где  – мнимая единица. Собственными значениями стационарной линейной системы являются комплексные величины

, определяющие отклик линейной системы на экспоненциальный комплексный сигнал на частоте . Функция частоты  называется комплексной частотной характеристикой линейной стационарной системы, а  и  – амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики этой системы. Здесь и далее точка сверху обозначает, что  является комплексной функцией. Амплитудно-частотная характеристика определяет изменение амплитуды (масштаба) собственной функции, а фазочастотная характеристика – задержку. Отметим, что комплексная частотная характеристика линейной системы с постоянными параметрами не зависит ни от времени, ни от вида входного сигнала.

Отклик системы  выражается преобразованием Фурье от

,                                  где  и  – спектральные плотности входного и выходного процессов,  – прямое преобразование Фурье.

Особую роль в теории линейных систем играет воздействие в форме дельта-функции [5]