Аналогичным образом определяется математическое ожидание случайного процесса на выходе каузальной стационарной линейной системы
.
Если на каузальную линейную
систему воздействует случайный процесс ,
начиная с момента
, то математическое ожидание
случайного процесса на выходе линейной системы зависит от времени:
.
В этом случае выходной процесс
является
нестационарным, так как
– функция времени.
Пример 2.1. Пусть на интегрирующую RC-цепь (рис. 2.1), начиная с момента , воздействует случайный процесс
с математическим ожиданием
. При
емкость
разряжена. Найти математическое ожидание
выходного
процесса
.
Импульсная и комплексная частотная характеристики интегрирующей RC-цепи имеют вид (см. табл. 1.1):
,
, где
,
– постоянная времени RC-цепи.
Математическое ожидание
процесса в переходном режиме с учетом определяется следующей формулой:
В установившемся режиме (при ) математическое ожидание
.
Это соотношение можно было получить,
используя формулу , так как на нулевой частоте
комплексная частотная характеристика равна единице .
Определим интервал времени , при котором переходной процесс можно
считать завершившимся, т.е. когда математическое ожидание выходного процесса
можно считать постоянным. Примем, что установившийся режим наступает, когда
. Тогда из следует, что
.
Таким образом, интервал
времени прямо пропорционален постоянной времени RC-цепи. ■
Для определения
ковариационной функции отклика стационарной линейной системы найдем
центрированный случайный процесс . Для этого вычтем из
выражения выражение :
.
Далее запишем равенство для двух моментов времени и
:
,
.
Взяв математическое ожидание от произведений левых и правых частей равенств и и затем поменяв местами операции взятия математического ожидания и интегрирования, получим
Отсюда следует, что ковариационная
функция отклика стационарной линейной каузальной
системы на воздействие
, которое начинает действовать на
систему в момент времени
, равна:
.
Приравняв к
, получим выражение для дисперсии [5]
.
Из формул и [так же, как и из формулы ] следует, что выходной процесс нестационарен, хотя входной процесс
, воздействующий на линейную систему,
начиная с момента времени
, является стационарным
в широком смысле. Это объясняется тем, что система находится в переходном
режиме, который теоретически завершится при
.
Найдем ковариационную
функцию и дисперсию случайного процесса на
выходе линейной системы, в которой завершился переходной процесс. Обозначив
и перейдя к пределу
в и , получим выражения для ковариационной
функции и дисперсии выходного процесса
после завершения
переходного процесса в линейной системе:
,
.
Отсюда следует, что процесс на выходе стационарной линейной системы
при стационарном входном воздействии является стационарным в широком смысле при
, т.е. условия стационарности выходного
сигнала, строго говоря, предполагают его бесконечную длительность. На практике процесс
может
рассматриваться как стационарный после окончания переходных процессов в
линейной системе.
Для некаузальной линейной системы ковариационная функция и дисперсия выходного процесса:
,
.
Взяв преобразование Фурье от левой и правой частей равенства , найдем спектральную плотность мощности стационарного в широком смысле случайного процесса на выходе стационарной линейной системы:
.
Заменив переменную под
знаком интеграла в круглых скобках и учитывая, что
импульсная характеристика и передаточная функция линейной системы связаны
преобразованием Фурье, получим
.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.