Применение теории случайных процессов, страница 4

Аналогичным образом определяется математическое ожидание случайного процесса на выходе каузальной стационарной линейной системы

.                            

Если на каузальную линейную систему воздействует случайный процесс , начиная с момента , то математическое ожидание случайного процесса на выходе линейной системы зависит от времени:

.                 

В этом случае выходной процесс  является нестационарным, так как  – функция времени.

Пример 2.1. Пусть на интегрирующую RC-цепь (рис. 2.1), начиная с момента , воздействует случайный процесс  с математическим ожиданием . При  емкость разряжена. Найти математическое ожидание  выходного процесса .

Импульсная и комплексная частотная характеристики интегрирующей RC-цепи имеют вид (см. табл. 1.1):

,                              

,                                  где ,  – постоянная времени RC-цепи.

Математическое ожидание процесса  в переходном режиме с учетом определяется следующей формулой:

         

В установившемся режиме (при ) математическое ожидание

.

Это соотношение можно было получить, используя формулу , так как на нулевой частоте комплексная частотная характеристика равна единице .

Определим интервал времени , при котором переходной процесс можно считать завершившимся, т.е. когда математическое ожидание выходного процесса можно считать постоянным. Примем, что установившийся режим наступает, когда . Тогда из следует, что

.

Таким образом, интервал времени  прямо пропорционален постоянной времени RC-цепи. ■

2.2. Ковариационная функция

и спектральная плотность

мощности отклика

линейной системы

Для определения ковариационной функции отклика стационарной линейной системы найдем центрированный случайный процесс . Для этого вычтем из выражения выражение :

.

Далее запишем равенство для двух моментов времени  и :

,                            

.                           

Взяв математическое ожидание от произведений левых и правых частей равенств и и затем поменяв местами операции взятия математического ожидания и интегрирования, получим

Отсюда следует, что ковариационная функция отклика  стационарной линейной каузальной системы на воздействие , которое начинает действовать на систему в момент времени , равна:

.        

Приравняв  к , получим выражение для дисперсии [5]

.                 

Из формул и [так же, как и из формулы ] следует, что выходной процесс  нестационарен, хотя входной процесс , воздействующий на линейную систему, начиная с момента времени , является стационарным в широком смысле. Это объясняется тем, что система находится в переходном режиме, который теоретически завершится при .

Найдем ковариационную функцию и дисперсию случайного процесса  на выходе линейной системы, в которой завершился переходной процесс. Обозначив  и перейдя к пределу  в и , получим выражения для ковариационной функции и дисперсии выходного процесса  после завершения переходного процесса в линейной системе:

,  

.          

Отсюда следует, что процесс  на выходе стационарной линейной системы при стационарном входном воздействии является стационарным в широком смысле при , т.е. условия стационарности выходного сигнала, строго говоря, предполагают его бесконечную длительность. На практике процесс  может рассматриваться как стационарный после окончания переходных процессов в линейной системе.

Для некаузальной линейной системы ковариационная функция и дисперсия выходного процесса:

,            

.                 

Взяв преобразование Фурье от левой и правой частей равенства , найдем спектральную плотность мощности стационарного в широком смысле случайного процесса на выходе стационарной линейной системы:

.

Заменив переменную под знаком интеграла в круглых скобках  и учитывая, что импульсная характеристика и передаточная функция линейной системы связаны преобразованием Фурье, получим

.