Электротехника \ Электротехника и электроника

, страница 5

Сложную систему уравнений надо решать с помощью определителей

I_k= ,

или иным математическим способом.

2.2 Метод контурных токов

Для сложных цепей, содержащих более 2-х узлов, метод контурных токов является наиболее простым и универсальным, ибо он значительно сокращает число уравнений по сравнению с непосредственным применением законов Кирхгофа. Впервые предложен Максвеллом.

Для примера рассчитаем сложную цепь предыдущего раздела.

Сущность метода заключается в том, что сложная цепь рассматривается как совокупность соприкасающихся ячеек или контуров (отличие от независимых контуров предыдущего метода).

Каждой ячейки приписывается некоторый контурный ток произвольного направления, а ток в общей ветви находится, как алгебраическая сумма контурных токов (рис. 2.2). При таком условии I-й закон Кирхгофа удовлетворяется автоматически и составлять по нему уравнение не надо (I_к= 0, превращается в тождество 0 = 0).

Однако, при составлении уравнений по II закону Кирхгофа нужно помнить одну особенность. Алгебраическая сумма ЭДС каждой ячейки равна алгебраической сумме произведений:

а) контурного тока данной ячейки на сумму сопротивлений всех ветвей этой ячейки;

б) контурных токов всех ячеек, смежных с данной, на соответствующие сопротивления общих ветвей. Правило знаков ЭДС и токов остается прежним, причем контур обходится в направлении собственного контурного тока.

I_a (R₀₁+R₁+R₂)-I_bR₂=E₁_,I_ста=I_a_,I_ас=I_a–I_b_,

I_b (R₂+R₃+R₄)–I_aR₂+I_cR₄=0,I_ав=I_b_,I_бс=I_b+I_c_,(2.1)

I_c (R₀₂+R₅+R₄)+I_bR₄=E_2.I_спб=I_c_.

Токи во внешних ветвях цепи равны соответствующим контурным, в общих ветвях – их алгебраическая сумма [5]. Число ячеек всегда значительно меньше числа ветвей, отсюда число уравнений в системе меньше, чем при непосредственном применении законов Кирхгофа (3 вместо 5 в приведенном примере).

Сложную систему уравнений лучше решать с помощью определителей.

2.3. Метод двух узлов

Если сложная цепь имеет много параллельных ветвей, но всего два узла, то самым простым оказывается метод двух узлов.

Пусть имеется расчетная схема (рис.2.3):

Запишем I закон Кирхгофа для узла а: I_k= 0. (2.2)

По закону Ома для активного участка цепи:

I_k==(E_k– U_ав)q_к. (2.3)

Подставляя (2.2) в (2.3), получим

(рис. 2.3):

(E_k– U_ав)q_к=0, (2.4)

Рис. 2.3

откуда:

Определив U_ав_, находят токи в ветвях по формулам (2.3).

В отношении формул (2.3) и (2.4) следует сделать замечания:

1). Если ветвь не содержит ЭДС, то в соответствующей ветви Е_к = 0, а проводимость q_к остается.

2). ЭДС обратного направления войдет в формулы со знаком минус.

3). Если окажется Е_к < U_ав_,то в формуле (2.3) соответствующий ток получится отрицательным, т.е. будет направлен против своей ЭДС.

2.4. Метод наложения

Применим только для линейных цепей. Является частным случаем принципа наложения, суть которого заключается в независимости действия источников энергии (доля тока в нагрузку от источника не меняется, есть ли соседние источники или их нет).

По этому методу сложную схему разбивают на ряд простых, в каждой из которых действует лишь один источник, для остальных источников ЭДС приравнивается нулю (Е_к = 0), но их внутренние сопротивления остаются. Токи в ветвях каждой простой схеме называются частичными.

Действительные токи в ветвях исходной схемы находятся алгебраическим суммированием частичных токов.

Рассмотрим метод на следующем примере (рис. 2.4).