Линейное программирование. Некоторые примеры экономических задач, приводящих к модели линейного программирования. Геометрическая интерпретация и графическое решение задачи ЛП, страница 21

     Решение. Симплексная таблица  задачи  с измененными запасами, построенная с помощью заключительной таблицы   исходной задачи о ресурсах, удовлетворяет  условию оптимальности  при  любых  значениях приращений   

 (см. пример 21). Поэтому    всегда  можно использовать как начальную для решения задачи с измененными запасами  двойственным  симплекс-методом. В условиях данного примера имеем: 

 Далее находим свободные члены таблицы  :

     Таблица   , содержащая оптимальный план          новой задачи, получается с помощью двойственного симплекс-метода уже после  первого  симплексного преобразования. Для нахождения нового оптимального плана симплекс-методом без использования заключительной таблицы исходной задачи пришлось бы выполнить не менее трех симплексных преобразований (почему?).

     Пример 24. В исходной задаче о ресурсах доходы 12, 4, 5 от  реализации  трех видов продукции изменились и составляют 12, 2, 7  соответственно. Найти новый оптимальный план  производства.

     Решение.  Симплексная таблица   задачи с измененными доходами, построенная с помощью таблицы    исходной задачи, допустима  при  любых значениях приращений  (см. пример 22). Поэтому   всегда  можно использовать как начальную для решения  задачи с измененными доходами сим-

плекс-методом.  В условиях данного примера      

 Далее находим элементы строки   F   таблицы   : 

Как и в предыдущем примере, использование заключительной таблицы исходной задачи позволяет найти новый оптимальный план быстрее, чем при  «прямом» решении задачи с измененными условиями симплекс-методом. Таблица  , содержащая новый оптимальный план  , ,  , 

 получается  уже после  первого преобразования таблицы   . В отличии от предыдущего примера разрешающий элемент выбирается  по правилам обычного (а не двойственного) симплекс-метода. 

     Пример 25.  В условии изменилась только  величина запаса самого ценного ресурса. При каких изменениях этой величины ценности ресурсов не меняются?

     Решение. Ценности ресурсов    найдены в примере 20, самым ценным оказался  третий ресурс. Рассмотрим таблицу  которая получается из таблицы     примера 21 при 

- одна  из симплексных таблиц задачи, в которой по сравнению с исходной изменилась (получила приращение  ) только величина запаса третьего ресурса.  Таблице   соответствует опорный план    задачи о ценности ресурсов, компоненты которого  совпадают с ценностями  ресурсов исходной  задачи. Этот опорный план  будет оптимальным при  тех значениях  , для которых    допустима, т. е. при выполнении системы неравенств    Решая эту систему, получим 

     Таким образом ценности ресурсов не меняются, если запас самого ценного (третьего) ресурса изменяется в пределах от  11-1=10  до  11+(6/7).

     Пример 26. В условии изменилась только величина максимального из доходов от реализации единицы продукции. При каких изменениях этой величины оптимальный план производства не меняется?

     Решение. Максимальный из доходов от реализации единицы продукции в исходной задаче имеет продукция первого вида. Предположим, что величина этого дохода изменилась и ее новое значение равно   Одной из симплексных таблиц новой задачи будет таблица   в которую   превращается    (см. пример 22) при 

Таблице   соответствует опорный план 

, совпадающий с оптимальным планом исходной задачи о ресурсах. Этот опорный план будут оптимальным при тех значениях  , для которых    удовлетворяет условию оптимальности, т. е. при выполнении системы неравенств  Решая эту систему, получим  Таким образом  оптимальный план  производства не меняется, если доход от реализации первого вида продукции изменяется в пределах от 12 – 2=10 до 12+6=18.

     Пример 27. Для улучшения качества продукции в процесс производства вводится новый (пятый)  вид ресурса. Технологические коэффициенты и запас нового ресурса равны  1, 2, 3 и 9 соответственно. Найти оптимальный план производства и величину максимального дохода в новых условиях.