Изучение материалла по курсу "Основы радиоэлектроники и связи", страница 8

2. Если N четное число, составляющая СM(N/2) будет действительной величиной:

3. Составляющие СM(N-k), где N - четное:      

Знак * означает комплексно-сопряженную величину. Следовательно, составляющие спектральной плотности, расположенные зеркально симметрично относительно X(N/2) являются комплексно-сопряженными, т.е. модули их равны, а фазы имеют разный знак.

Это приводит к тому, что абсолютные значения этих составляющих в моменты времени n одни и те же, так что их можно заменить на одну составляющую с удвоенной амплитудой. Поэтому ДПФ достаточно вы­числить для частот с номерами k = 0,1,2,...,N/2. Дискретная час­тота k=N/2 самая верхняя и соответствует верхней частоте Fв спектра аналогового сигнала. Частотных составляющих выше этой частоты в спектре аналогового сигнала не должно быть. Но в спектре цифрового сигнала существуют частоты выше N/2 вплоть до k=N-1. Эти частоты называют областью отрицательных частот, поскольку в силу периодичности спектра дискретного сигнала для частот k= –N/2,…,0 получаются те же спектральные составляющие, что и для частот    k = N/2,...,N.

Комплексно-сопряженные пары, определенные формулой (2.21), необходимо учитывать при цифровой обработке спектральной плотности. Например, добавлять или удалять частотные составляющие из спектра следует по­парно, согласно 3 свойству ДПФ. Не образуют пары С(0) и при четном N С(N/2).

2.3  Быстрое преобразование Фурье

Прямое использование формул (2.15) и (2.16) для расчета ДПФ и ОДПФ требует вычисления  умножений и столько же сложений.

Для больших N, порядка сотен или тысяч прямое вычисление становится трудоемким. В то же время, при внимательном анализе, нетрудно заметить, что значения синусов и косинусов с разными частотами могут оказаться одинаковыми в конкретный момент времени. Алгоритмы, которые позволяют уменьшить избыточность вычислений ДПФ получили название БЫСТРОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ (БПФ). Существует множество разновидностей БПФ, различающихся своей эффективностью, а также количеством точек входной последовательности (т. е. количеством отсчетов сигнала, для которого  рассчитывается преобразование Фурье). Наиболее известным являются алгоритм Кули-Тьюки по основанию 2. На его основе создан блок FFT в simulink MatLab. Число необходимых математических операций в этом алгоритме . Допустим, если длина равна 1024, то БПФ позволяет сократить количество операций, приблизительно, в 100 раз.

2.3.1  Алгоритм с прореживанием по времени

Основная идея алгоритма Кули-Тьюки по основанию 2 с прореживанием по времени заключается в поэтапном разбиении входной последовательности на четные и нечетные отсчеты. Например, при N=8=2³ отсчеты можно пронумеровать . Четные отсчеты , нечетные отсчеты . Далее каждая последовательность отчетов снова делится на четные и нечетные  – четные и  – нечетные, а также  – четные и  – нечетные. Деление заканчивается, когда образуются пары отсчетов. Поэтому количество этапов разбиения зависит от N=2^L и равно L.