Основы теории расчёта статически неопределимых систем методом сил. Перемещения в статически неопределимых системах, страница 16

47

         Аналогом формул ( 1.34 а ) – ( 1.34 в ) при этом будут

                            ;                 ( 1.36 а )

                      =    ;                 ( 1.36 б )

                                              ( 1.36 в )

1.6.2. Матричная проверка результатов расчёта

         Статическая проверка в матричной форме могла бы быть выполнена при помощи матриц, отличных по смыслу от тех, ко-торые применяются в основном расчёте. Это матрицы уравне-ний статики, в которых использовались бы усилия S или, най-денные  по  формулам  ( 1.34 ) – ( 1.35 ).  Но  на  стадии  подготовки  исходных данных для вычисления этих усилий уравнения рав-новесия в матричной форме не записывались, а составлять их специально только для контроля результатов нецелесообразно.         

52

         Кинематическая  ( деформационная )  проверка  –  матричное вычисление перемещений по направлениям удалённых лишних связей в основной системе метода сил при её деформациях, возникающих от найденных усилий S:

.  ( 1.37 )

         Результат  должен  быть  D = 0  ( матрица  размерами  ).

При компьютерном расчёте эта проверка теряет смысл, по-скольку  в  ней используются  те же матрицы  ( целиком или соот-ветствующими блоками ),  с помощью которых ранее были опре-делены усилия S, следовательно, по сути, проверяется только корректность выполнения компьютером матричных операций, а вероятность возникновения ошибок машинного счёта ничтожно мала. При этом ошибки в исходных матрицах, независимо от их происхождения и содержания, не могут быть обнаружены.

         Для надёжной проверки результатов по формуле ( 1.37 ) сле-довало бы использовать матрицы единичных усилий и податли-востей для какой-нибудь другой основной системы, вводя при этом уже ранее полученную матрицу S^*) .  

1.7. Учёт симметрии в расчётах СНС методом сил

         Рассчитываемая статически неопределимая система может быть симметричной по трём существенным с позиций механики признакам – геометрии, структуре ( размещению связей ) и рас-пределению жёсткостей. Особо отметим, что заданные воздей-ствия ( нагрузки и др. ) в оценке симметрии отсутствуют.

         Возможны два варианта учёта симметрии в расчёте СНС:

– использование групповых основных неизвестных метода сил;

– расчёт половины системы по одну сторону от оси симметрии.

   

^*)   Следует заметить, что и в данных для альтернативной ОСМС  могут

     содержаться свои погрешности,  но  тогда  проверка  не  выполнится,

      и  это будет указанием  на необходимость продолжения поиска оши-

     бок.  Полезной является также проверка «вручную» ( см. п. 1.5 ).

54

Группировка основных неизвестных в задаче расчёта СНС

является частным случаем применения математического приёма перехода от одного ( исходного )  базисного  вектора неизвестных к другому базисному вектору ( такой же размерности, как исход-ный ) при формировании и решении системы линейных алгебра-ических уравнений ( в рассматриваемых задачах – канонических уравнений метода сил ).

         Идея способа группировки неизвестных в методе сил: после выбора основной системы, выявляющей исходные неизвестные Х «естественным образом» как реакции удалённых лишних свя-зей, осуществляется переход к новым неизвестным  путём ли-нейного преобразования векторов –  Х  в :

,                                   ( 1.38 )

где  h  –  квадратная  матрица  преобразования,   которая   должна

               быть невырожденной ( Det ( h )).

         Из ( 1.38 ) видно,  что некоторый  i-й  компонент вектора но-вых неизвестных  = h _i1 X₁ + h _i2 X₂ +…+ h _in X_nпредставляет со-

бой линейную комбинацию ( группу ), составленную из исходных неизвестных.

          Переход от одного базиса ( X) к другому () возможен на основании различных соображений, например, с целью получе-ния в новом базисе системы уравнений с простейшей – диаго-нальной матрицей коэффициентов, что требует достаточно сло-жных дополнительных расчётов.