Моделирование систем управления. Формирование требований и разработка концептуальной модели. Разработка математической модели системы массового обслуживания

РЯЗАНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ РАДИОТЕХНИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ

А. С. МОРОЗОВ

МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

Конспект лекций

Рязань 2004

1.  Формирование требований и разработка

концептуальной модели

   Под концептуальным моделированием понимается  словесное и формальное (математическое) описание будущей модели. Концептуальная  модель отражает общее представление об объекте, выраженное в виде обобщенных математических  выражений. На этом этапе составления модели необходимо выполнить следующие операции:

  1.Составить подробное словесное описание объекта.

  2.Определить и сформулировать задачу и цели моделирования.

  3.Провести выбор и математическую запись критерия качества моделирования (критерия эффективности).

  4.Определить границы модели и внешней среды.

  5.Выбрать математический аппарат, с помощью которого можно описать поставленные задачи и цели, а также критерии качества.

  6.Провести при необходимости детализацию модели. Цель детализации – упрощение  принципа выполнения задачи и цели, а также записи критерия качества.

  7.Провести верификацию модели, то есть проверить, насколько составленная модель отвечает требованиям, поставленным в задаче и цели моделирования.

  8.Если возможно, то составить математическую структуру модели или функциональную схему модели.

1. 1. Составление описания объекта

      На этом этапе проводится подробное описание процесса функционирования объекта или его фрагмента. При этом подробно рассматриваются все элементы объекта, устанавливаются связи между ними, проводится описание входных  и выходных потоков или сигналов их преобразования в ходе моделирования. Результатом описания объекта, как правило, является функциональная схема (структура объекта), где в качестве элементов фигурируют узлы модели с

описанием выполняемых функций и связи между элементами в виде информационных или материальных потоков.

Например, объектом моделирования является ВЦ. Входной поток – студенты, которые приходят с интервалом времени 82 мин. в ВЦ для работы на ЭВМ1 (ЭВМ отладки программ) и ЭВМ2. Часть входного потока (25%) поступает на ЭВМ1, а затем на ЭВМ2. Другая часть поступает непосредственно на ЭВМ2. После работы на ЭВМ2 20% студентов возвращаются для повторной работы на ЭВМ1 и ЭВМ2. На входе ВЦ имеется очередь, максимальная длина которой 4 человека. ЭВМ1 обслуживает студентов в течение 81 мин., ЭВМ1 – в среднем 8,5 мин.

Структура объекта имеет вид рис. 1.

Рис. 1

1. 2. Описание и формализация задачи и цели моделирования

 Перед началом моделирования необходимо определить задачу моделирования, под которой понимается математическое описание процесса функционирования объекта. Поставленная задача подвергается словесному, а затем формальному описанию описанию,  определяются функции, с помощью которых можно описать процесс функционирования объекта. Под функциями понимается преобразование входных  потоков или сигналов, выполняемые на объекте. Обычно для этого используются различные теории (теории потоков, теория автоматического управления, теория массового обслуживания и т. д.). Далее проводится описание цели моделирования. Целью моделирования является определение характеристик или параметров объекта, подлежащих оценке или выбору. Как правило, целей несколько, поэтому желательно выбирать их таким образом, чтобы  они могли быть реализованы одним и тем же математическим аппаратом, что и задачи. Выбранные задачи и цели в дальнейшем являются основополагающими и все изменения в модели, её структуре должны подчиняться поставленным задачам и целям. В модель не должны вводиться элементы, которые не вносят вклад в выполнение поставленных задач и целей.

Например, в системах обслуживания задачей является математическое описание процесса распределения ресурсов среди потока пользователей, целью – определение таких характеристик, как коэффициент загрузки системы К_з, средняя длина очереди на обслуживание  , среднее время обслуживания одного пользователя и ⁰ т. д.

      На этом этапе определяются  состав функций, описывающих задачи и цели.  Функции разделяются на детерминированные, стохастические, игровые. Для этих функций определяется область значения, описывается их характер. Если это случайная функция, то задаётся закон распределения и основные числовые характеристики. После определения состава функций проводится их аппроксимация (упрощение). Аппроксимация ведётся таким образом, чтобы упростить реализацию этих функций и получить достаточно точные характеристики, указанные в задаче и цели моделирования.

Допустим в качестве объекта фигурирует система обслуживания, основными элементами которой являются входной поток, обслуживающий аппарат правило обслуживания. В этом случае основными функциями, с помощью которых можно реализовать задачу, являются функции, описывающие процесс функционирования и формализующие указанные выше элементы. Так, по теории массового обслуживания входной поток можно формализовать в виде t_i = t_i-1 + _i, где t_i – момент поступления в систему i-го пользователя, _i – интервал времени между пользователями. Обслуживающий аппарат можно в виде обслуженного входного потока t= t + , где  t- момент освобождения аппарата от обслуживания, t- момент начала обслуживания,   - время обслуживания i-го пользователя. Правила обслуживания моделируются с помощью различных условий и тестов. Например, по условию t_i> t проверяется занята или свободна система, или выбор по вероятности pa, где 0a1, пользователь  может направляться в ту или иную сторону и т. д.

Как правило выше рассмотренные функции случайные и подчиняются или равномерному закону распределения в диапазоне от a до b, или показательному закону с интенсивностью , и легко реализуются средствами имитационного моделирования.

В примере с ВЦ задачей моделирования является воспроизведение процесса обслуживания студентов вычислительным центром. В качестве цели можно взять загрузку ЭВМ1. Тогда основные функции запишутся в виде:

 1. Входной поток t_i = t_i-1 + _i, где _i – интервал поступления студентов в ВЦ.

2.  Обслуживающие аппараты:

а) ЭВМ1 – t= t + ,

б) ЭВМ2 – t= t + ,

где ,  - время обслуживания, соответственно, ЭВМ1 и ЭВМ2; t= t_i – если свободные соответствующие ЭВМ, t= t, если i-ая ЭВМ занята, t= t,       если к ЭВМ2 обращаются после ЭВМ1.

3.  Правило обслуживания:

а) отказ из-за переполнения очереди можно выполнить по условию r_i  4, где r_i  - текущая длина очереди,

б) если допустить, что 1/4 студентов обращается к ЭВМ1 остальные к ЭВМ2, тогда по вероятности Р 0,25 можно выполнить распределение студентов,

в) повторная работа определяется по вероятности Р0,2.

1.  3. Выбор и математическая запись критерия

эффективности

      Под критерием понимается математическая запись оценки качества выполнения поставленной  цели. Критерием эффективности может быть характеристика объекта или критерия эффективности работы объекта. После того как критерий выбран, на основе ранее выбранных теории проводится его математическая запись. При выборе математической записи критерия стремятся к тому, чтобы он был единственным, а если их множество, то независимыми друг от друга.