Моделирование систем управления. Формирование требований и разработка концептуальной модели. Разработка математической модели системы массового обслуживания, страница 24

B A	S1B	…	SnB
S1A	a11	…	a1n
…	…	…	…
SmA	am1	…	amn

Целью моделирования является поиск каждой из сторон таких стратегий поведения в конфликте, при которых выигрывающая сторона может получить максимальный выигрыш, а проигрывающая - выйти из ситуации с минимальным проигрышем. В модели, как таковой, нет выигрывающей и проигрывающей стороны. Поэтому каждый из участников на модели проверяет, что он может получить и что потерять в рассматриваемом конфликте.

Методология поиска стратегии такова, что каждая из сторон ищет:

1)  стратегию, которая дает минимальный, но гарантированный выигрыш;

2)  стратегию, которая дает максимальный, но возможный проигрыш.

Такой выигрыш можно получить, если участники применяют оптимальные стратегии. Если хотя бы одна из сторон применит неоптимальную стратегию, то выигрыш  стороны А может быть существенно выше или ниже.

При составлении модели элементы матрицы  известны. Рассмотрим поиск оптимальной стратегии выигрывающей стороны (стороны A):

1.  Сторона A по каждой строке (по своей стратегии) определяет минимальный элемент строки.

2.  Из всех минимальных элементов строк выбирается максимальный элемент. Найденный максимальный элемент (строка) определяет наилучшую стратегию выигрывающей стороны A.

Математически это оформляется следующим образом:

- максиминный выигрыш (нижняя цена игры) для стороны А.

На случай проигрыша (стороной B) ищется оптимальная стратегия в следующей последовательности:

1.  Сторона B в каждом столбце платежной матрицы находит максимальный элемент.

2.  Из всех максимальных элементов выбирается минимальный элемент, который определяет оптимальную стратегию проигрывающей стороны.

Математически это оформляется следующим образом:

-минимаксный проигрыш (верхняя цена игры).

Если , то игра считается равновесной. Это значит, что сторонам, участвующим в конфликте, известно о поведении противника. По модели равновесная игра определяется наличием в матрице седловой точки, когда минимальный элемент i-ой строки равен максимальному элементу j-го столбца. Такая игра еще называется чистой игрой, а выбранные стратегии называются оптимальными.

В большинстве случаев  седловая точка в платежной матрице отсутствует, т.е. . Это говорит о том, что противоположная сторона не имеет полной информации о стратегии противника. В этом случае о применении противоположной стороной стратегии можно говорить только с вероятностью. Поэтому в таких играх определяется не столько выигрыш-

проигрыш, сколько вероятность применения противником той или иной

стратегии. Выбрать наилучшую стратегию, значит выбрать ту стратегию, у которой максимальная вероятность. Для этого на основе известной платежной матрицы определяется ряд распределения вероятностей для каждой из сторон:

В такой игре можно говорить только о среднем платеже (математическом ожидании платежа)

,

где - платежи игровой матрицы, - вероятности применения сторонами i-ой  и  j-ой стратегии.

Для стороны А оптимальная стратегия определится по  среднему платежу

.

Для стороны B оптимальная стратегия определится по среднему платежу

.

В практических задачах находят средний ожидаемый выигрыш-проигрыш (цену игры) из формулы , где .

Методы решения игровой задачи

1.  Если в платежной матрице имеется седловая точка, то ее определяют простым перебором.

2.  Если платежная матрица не имеет седловой точки, следовательно,  игра смешанная, и необходимо найти ряды распределения вероятностей применения сторонами A и B стратегий  и .

Методика решения смешанной игры 2x2

Решением смешанной игры 2х2 является определение двух рядов распределения вероятностей применения сторонами A и B стратегий:

       

Определение ряда ведется в следующей последовательности:

1.  Строится ряд распределения для стороны A. Если сторона A будет использовать наилучшую свою стратегию , то при любой стратегии противника ее выигрыш составит величину . Исходя из этого, можно составить систему линейных алгебраических уравнений, в которых в качестве переменных фигурируют вероятности применения  противником той или иной стратегии

выигрыш при применении стороной B стратегии ,

выигрыш при применении стороной B стратегии .

2.  По тому же принципу можно составить систему линейных алгебраических уравнений для стороны B:

выигрыш при применении стороной A стратегии ,

выигрыш при применении стороной A стратегии .

3.  Решая полученные системы, найдем вероятности .

4.  Если принять , , то решение запишется в виде:

         

Пример решения игры 22

Допустим, платежная матрица игры имеет вид:

	2	-1	-1
	-3	4	-3
	2	4

Из матрицы видно, что нижняя цена игры , верхняя цена игры ,  седловой точки нет. Значит, игра смешанная и необходимо найти вероятности .

 

В результате решения получим два ряда распределения вероятностей:

.

Из этого следует, что стороне А необходимо применять стратегию  , а стороне В чередовать стратегии с одинаковой частотой.

Методика решения смешанной игры mxn

Целью является поиск рядов распределения вероятностей для стороны A размерностью m и для стороны B размерностью n. Для поиска указанных рядов в соответствии с выше рассмотренным принципом строится система линейных алгебраических уравнений вида:

Решением данной системы будет .

Решить данную систему можно средствами линейного программирования. Для этого необходимо выполнить следующие подстановки и преобразования: