Тепломассообмен (физико-математические основы): Учебное пособие, страница 7

В  соответствии  с  законом  Планка  спектральная  поверхностная  плотность  потока  излучения  абсолютно  чёрного  тела

Здесь  l -  длина  волны;

Т -  температура  тела,  К;

с₁, с₂  -  постоянные  величины,  соответственно,  3.7418 ×10^-16 Вт/м² и   1.4388 ×10 ^-2 м×К.

Из  закона   Планка,  как  частные,  получаются  законы  Рэлея – Джинса,  Вина  и  Стефана – Больцмана.

Последний  можно  получить  интегрированием  спектральной  поверхностной  плотности  по  всему  диапазону  длин  волн  от  0  до  ¥.  В  результате  интегрирования  получается  формула  для  энергии  полусферического  излучения (интегральной  поверхностной  плотности)  абсолютно  чёрного  тела

Это  и  есть  закон  Стефана – Больцмана.

Для  удобства  расчетов  формулу  часто  записывают  в  виде

q ₀ = C ₀× (T/100)⁴ = C₀×Q,  где  С ₀ =  5,67032  Вт/(м²×К⁴)

Число  5,67032  называют  коэффициентом  излучения  абсолютно  чёрного  тела,   символ  Q  -  температурным  фактором.

Ближе  к  реальным,  по  своим  свойствам,  так  называемые  серые  тела,  у  которых  спектр  излучения  сплошной,  как  и  у  абсолютно  чёрного  тела,  но  спектральная  поверхностная  плотность  излучения  при  одинаковой  температуре  поверхности  q  может  быть    значительно  ниже  q₀ ,  хотя  распределение  q _l  по длине  волны  подобно  распределению  q _0l,  то  есть  при  любой  длине  волны  l  отношение  q _l / q _0l= const.  Это  отношение  называют спектральной  степенью черноты e_l. Тогда  q _l = e _l×q _0l ,  а  полная   энергия  полусферического  излучения

У  серого  тела  e _l = const,  поэтому  интегральная  степень  черноты  e = e _l,  и  q = e×q ₀ = C₀×e×Q.

Последнее  выражение   называют  законом  Стефана - Больцмана  для  серого  тела.  Он  определяет  величину  плотности  собственного  потока  излучения  серого  тела.

Закон  Вина  устанавливает  зависимость  между  температурой  поверхности  излучающего  тела  Т  и  длиной  волны  l,  соответствующей  максимальной  спектральной  поверхностной  плотности  излучения   абсолютно  чёрного  тела:   l _м Т = 2,898  мм× К.  Из  этой  зависимости  видно,  что  с  увеличением  температуры  максимум  излучения  смещается  в  сторону  более  коротких  длин  волн,  ближе  к  световому  излучению.

Закон  Кирхгофа  устанавливает  связь  между  способностью  тела  поглощать  падающее  на  него  излучение  и  способностью  излучать  собственную  энергию.  Выше  было  сказано,  что  тела  обмениваются  лучистой  энергией  даже  при  равенстве  их  температур, то есть  при  термодинамическом  равновесии.  В  этом  случае  тело  излучает   столько  энергии, сколько  её  поглощает.  И  если  одно  тело   абсолютно  чёрное,  а  второе  серое, то  для  этой  пары  справедливо  равенство  Q = A×Q ₀,  то  есть  серое  тело  излучает  то,  что  поглощает  от  абсолютно  чёрного.  При  равенстве  поверхностей  обоих  тел  q = A×q ₀ .  А   раньше  мы  получили  формулу  для  энергии   полусферического  излучения  q = e×q ₀.  Стало  быть  у  серого  тела  .  Это  значит,  что  тело,  хорошо  поглощающее  падающее на  него  излучение,  хорошо  излучает  и  собственное.

Как  видно,  закон  Кирхгофа  получен  при  условии  термодинамического  равновесия,  но  им  пользуются  и  в  неравновесных  условиях,  так  как  e  и  А  от  условий  равновесия  не  зависят.

Закон  Стефана-Больцмана  устанавливает  величину  общего  количества  энергии,  излучаемой  единицей   площади  поверхности  в  полусферическое  пространство.  Угловое  же  распределение  этой  энергии  характеризуется  интенсивностью  J = dq /dw ( где  w - пространственный  угол)  и  энергетической  яркостью  B = dq /dw×cos u (рисунок 2).  Обе  эти  величины  измеряются  в  Вт/(м²×ср),  но  J  относится  к  площадке  dF,  а  В -  к  проекции  этой  площадки  на нормаль  n₁  к  направлению  луча  под  углом  u,  то  есть  к  dF_u = dF×cos u.  Энергетическая  яркость  абсолютно  чёрного  тела  не   зависит  от  угла  u,  то  есть  излучение  этого  тела  изотропно.