Тепломассообмен (физико-математические основы): Учебное пособие, страница 34

Приведём эти  уравнения  к  безразмерной форме,  используя  соотношения   х = l₀X ,  y = l₀Y, w = w₀ V,  С = С₀G, t = t₀ ,  в  которых  l₀,  w₀, С₀, t_о – постоянные  масштабы;  X, Y, V, G, Q - безразмерные  переменные;  t_п – температура  стенки (поверхности  твёрдого  тела);  t₀ –  температура  потока  вдали  от  стенки;  w₀ – скорость  в  ядре  потока;  С₀ –  концентрация  там  же.

Производя  замены    размерных  величин,  как  в  предыдущих  параграфах,  получим  уравнения  в  виде

;

В  уравнениях  появились  новые  критерии  подобия  - Шмидта  Sc =      =n/D_m,  который  ещё  называют  диффузионным  критерием  Прандтля Pr_д,  Льюиса  Le = D_m/a.

Если  в  уравнениях  принять  Pr = Sc = Le = 1,  то  все  три  уравнения  будут  иметь  одинаковую  структуру  и  удовлетворять  условиям  аналогии.  С  физической  точки  зрения  это  будет  означать,  что  поля  температур,  скоростей   и  концентраций  будут  подобны  в  сходственные  моменты  времени,  то  есть  при   одинаковых  числах  Фурье.  Это  обстоятельство  открывает  возможности  исследования  одного  из  этих  процессов  с  помощью  других.  В  частности,  для  определения  характеристик  процесса  массопереноса  используют  уравнения  подобия   конвективного  теплообмена,  например  при    тепло-  и  массообмене  между  поверхностью  жидкости  и  омывающим  её  воздухом:  Nu = C Re ⁿ Pr ^m,     Nu _д = C Re ⁿ Pr_д^m. 

Здесь  Nu = a l ₀/l , Re = wl₀/n ,  Pr = n/a,  Nu_д = bl₀/D_m,  Pr_д = n /D_m = Sc .

Из  этих  уравнений  можно  получить простую  зависимость,  если  поделить  первое  уравнение  на  второе -   (a/g с_рb) =1.  Это  соотношение  показывает,  что  с  увеличением  a  растёт  и  b;  оно  может  быть  использовано  и  для   численного  определения  b.

Из  условия  аналогии  можно  установить  связь  между  трением  и  теплообменом.  В  частности,  при  Pr = 1  два  первых  уравнения (теплопереноса  и  движения) тождественны  относительно  величин V_x  и  Q;  граничные  значения  этих  величин  одинаковы,  а  именно,  на  поверхности  теплообмена (w_x = 0,  t = t_п)  V_x = Q = 0,  а  вдали  от  поверхности V_x = Q = 1.  Следовательно,  (w_x/w₀) = (t  -  t_п) / (t₀  -  t_п),  или  w_x (t _п  - t_c) = w₀ (t  - t_c).  Дифференцируя  это  равенство  по  y, получим (¶ t/¶y)/(¶w_x/¶y) = ( t ₀ – t_п)/w₀.     Плотность  теплового  потока  вблизи  от  поверхности  теплообмена  по  абсолютной  величине   q = l /(¶t/¶y),  а  напряжение  трения р_т=        =m(¶w_x/¶y).Почленное  деление  этих  формул  даёт (q/р_т) =l(¶t/¶y) /m(¶w_x/¶y),  а  подстановка  из  предыдущей  пропорции  даёт (q/р_т) = l( t _п  - t _c) /m w₀    или q/(t ₀ – t_п)= lр_т/mw₀. При  течении  в  трубах  сила  давления,  действующая  на  поток  среды,  равна  pR²dp,  а  уравновешивается  она  касательным  напряжением  р_т  на  стенке  трубы  2pR dx p_т.  Из  равенства  силы  давления  и  силы  касательного  напряжения  получаем  р_т = R dp /2 dx .  Уменьшение  давления  по  длине  трубы   соответствует  потере  напора  dp =x g w₀²dx/4R .  тогда  р_т = xgw₀²/8.  После  подстановки  этого  выражения  в  формулу  для   a, получаем a=xlw₀²/8n. В этих  формулах  x - коэффициент  гидравлического  трения, зависящий  от  шероховатости  поверхности  и  от  числа  Рейнольдса.

Таким  образом,  понятие  аналогии  даёт  возможность  установить  связь  между  трением  и  теплообменом.

Следует  однако  иметь  в  виду,  что  условия  аналогии  сравнительно  точно  выполняются  для  газов,  а  для  капельных  жидкостей  -  только  в  определенных  интервалах  температур.

3.5 .  Метод  разделения  переменных

Аналитическая  теория  решения  дифференциальных  уравнений  переноса  при  переменных  физических  свойствах  тел,  зависящих  от  пространственных  координат  и  времени  до  сих  пор  не  разработана,  поэтому  обычно  решаются  уравнения  с  постоянными  коэффициентами.  Кроме  того,  разделить  можно  лишь  две  переменные,  поэтому  в  случае  нестационарных  процессов  решать  этим  методом  можно  только  уравнения  для  одномерных  полей.  Таким  образом  решаются  задачи  тепло -  и  массообмена    с  несложными  условиями  однозначности.