Тепломассообмен (физико-математические основы): Учебное пособие, страница 45

Математический  анализ устойчивости  разностных  схем часто  представляет собой  достаточно  сложную  задачу. Для  многих  конечно-разностных  схем  такие  анализы  выполнены  профессиональными  математиками. Определены и порядки  точности  аппроксимации.

Задачи,  в  которых  физические  свойства  тел  и  сред  или  параметры  граничных  условий  являются  функциями  переменных,  входящих  в  дифференциальные  уравнения переноса, называются  нели-нейными. Алгоритмы  численного  решения таких  задач сравнительно  просто построить  на  основе  линейных  уравнений.  При  этом зависимос- ти  физических  свойств, коэффициентов  переноса и  параметров  гранич-ных  условий от  температуры и  давления  могут  быть  заданы  функци-ями  любого  типа.  Эти  функции  используются  для  вычисления  значений  вышеупомянутых  величин  на  каждом  временном  шаге.  В  за- висимости от  выбора  временного  слоя, τ или τ+Δτ, разностные  схемы  называют,  соответственно,  квазилинейными  или  нелинейными.  В пер-вом  случае  решение  проще,  так  как  необходимые  температуры  известны,  во  втором – неизвестны. Поэтому  при  выборе  временного слоя  τ+Δτ  используют  итерационный  процесс,  принимая численные  значения теплофизических  характеристик  тел  и  коэффициентов  перено-са  в  первом  приближении по  значениям  температуры  слоя  τ. В  результате  объем  вычислений  по  нелинейной  схеме  возрастает, но она  дает  меньшую  погрешность  при  более крупных  шагах  Δτ.

Применение  рассмотренных  схем  и  методов  аппроксимации  дифференциальных  уравнений  может  быть  распространено  на  двух-  и  трехмерные  поля.  Но,  как  видно  из  предыдущих  уравнений  в  неявной  форме,  уже одномерная  схема связывает  значения  искомой  величины (на  будущем  временном  шаге)  в трех  соседних  узлах;  двухмерная  свя-жет пять,  а  трехмерная – семь  узлов.  Кроме  того,  при  малых  шагах, которые  определяются  требованием  точности расчета,  эти  методы  ведут  к  резкому  возрастанию  объема  вычислений и  становятся  либо  экономически  нецелесообразными,  либо вообще  неосуществимыми.  Поэтому  для  решения  многомерных  задач математиками  предложены  новые  методы,  более  выгодные  с  точки  зрения  затрат  машинного  времени.

3.8.2.  Методы  решения  многомерных  задач

К  ним  относятся  метод  переменных  направлений (метод  дробных шагов)  и  метод  расщепления (локально-одномерный).

В  первом  случае  весь  интервал  времени ∆τ,  то  есть  шаг  по вре-мени,  разбивается  на два  равных  полушага  Δτ/2.  На  первом  полушаге  дифференциальный  оператор  ∂²/∂х²  аппроксимируется  неявно (t_{n+1, m, τ+1/2}, t_n,m,τ+1/2, t_n-1,m,τ+1/2 – неизвестны),  а  оператор  ∂²/∂y²  аппроксимируется  явно  (t_n,m+1,τ, t_n,m-1,τ, t_n,m,τ – известны). На  втором  полушаге  наоборот,  ∂²/∂х²  ап-проксимируется явно (t_n+1,m,τ+1/2, t_{n-1,m, τ+1/2}, t_{n,m, τ+1/2} – известны из решения на  первом  полушаге),  а  ∂²/∂y² – неявно (t_n,m+1,τ+1, t_n,m-1,τ+1 t_{n,m, τ+1} неизвестны).

Исходное  уравнение  теплопроводности  в  этом  случае  на  первом  полушаге получится  в  виде

;

а на втором

На первом временном полушаге на каждой прямой m = const получа-ются разностные уравнения второго порядка относительно t_n,m,τ+1/2 ,где при данном τ  n пробегает все значения вдоль этой прямой с граничными условиями на  ее концах. Разностное уравнение решается методом прогонки. На  втором  временном  полушаге осуществляется  прогонка на прямой n = const. Затем расчет повторяется.

Специально проведенные  исследования показали,  что метод пере- менных направлений для  трехмерных задач теплопроводности не особен-но  эффективен, конечно-разностные решения получаются не абсолютно устойчивыми даже в неявной форме. Поэтому для трехмерных задач разра-ботаны так называемые методы расщепления(дробных шагов), основанные  на  идее  расщепления сложных операторов на простые, в результате чего решение задач  сводится к решению уравнений более простой структуры.