Тепломассообмен (физико-математические основы): Учебное пособие, страница 23

Здесь   g_в -  плотность  среды  вдали  от стенки;

Dt -  перепад  температуры  между  поверхностью  стенки  и  средой вдали  от неё;

b -  коэффициент   объёмного  расширения  среды.

Решение  этого  уравнения  позволяет  получить  уравнение  распределения  скоростей  в  потоке,  а  при  нестационарном  режиме  -  и  изменение  их во  времени.

В  теории  движения  сред  различают  ламинарный  и  турбулентный  режимы  течения.  В  первом  случае  частицы  среды  следуют  в  потоке  по  вполне  определенным   главным  траекториям,  все  время  сохраняя  движение   в  направлении  вектора   средней   скорости  потока,  а  возникающие  в  потоке  случайные  нерегулярности  гасятся.  Во  втором  случае  в потоке  возникают  пульсации  скорости,  в  том  числе  и  поперечные,  отдельные  объёмы  среды  перемещаются  и  поперёк  потока. В  нём  возникают  вихри.

Если  осредненные  по  времени  скорости  течения  среды  не  изменяются  во  времени  или  изменяются  медленно,  то  действительную  скорость  можно  представить  в  виде   суммы  w = + w¢,  в  которой    – вектор  осредненной  скорости,  а  w¢ -  вектор  пульсационной  составляющей  истинной  скорости,  дающий  отклонение  скорости  по  величине  и  направлению  от  осредненного  значения.

Пульсации  скорости  вызывают  появление  новых  слагаемых  в  правых   частях  уравнений  движения,  по  смыслу  аналогичных  членам  уравнений,  обусловленным  силами вязкого  трения.  Поэтому   структура  уравнений  еще  более  усложняется,  а  система  этих  уравнений  оказывается  незамкнутой.  Для  её  замыкания используют  дополнительные  гипотезы  из  области  полуэмпирических  теорий  турбулентности.

Деление  потока  на  ядро  и  пограничный  слой  позволяет  рассматривать  каждую  из  этих  областей  в  отдельности.

В  ядре  потока  силы  инерции  преобладают  над  силами  вязкостного  трения,  поэтому  для  описания  движения  можно  пользоваться  уравнениями  идеальной  жидкости (среды).  А  в  пограничном  слое  преобладают  силы  вязкости,  поэтому    движение  в  нём  описывается  упрощенными  дифференциальными  уравнениями,  которые  можно  интегрировать.  Вопросы,  связанные  с  выводом  и  решением  таких  уравнений  рассматриваются  в  особой  теории  пограничного  слоя.

Раздельный  анализ  упрощенных  уравнений  с  последующим  смыканием  полученных  решений  для  ядра  потока  и  пограничного  слоя   позволяет  получить  все  необходимые  характеристики  потока  в  целом.

2.4.  Уравнение  конвективного  теплопереноса.  Уравнение

теплопроводности

Вывод  уравнений  базируется  на  законе   сохранения  энергии.  Он,  как  и  вывод  уравнения  неразрывности,  начинается  с  определения  приращения  количества,  но  не  массы,  а  потока  тепловой  энергии,  плотность  которого  по  оси  х  в пределах  объёма  dV  меняется  от  q _x  до  q _x +  (¶q _x/¶x) dl _x .

Приращение  количества  тепла  в  направлении  оси  х

dQ_x = dQ_x1 -  dQ_x2 = [q _x -  q _x – (¶q _x/¶x) dl _x]dl _ydl _zdt = - (¶q _x/¶x) dV dt .

Плотность  теплового  потока  при  конвективном  тепломассообмене

q _x  = - l(¶ t /¶x) + g w_x i ,  поэтому  после  подстановки  получим

dQ_x = [l(¶²t/¶x²) - g w_x(¶ i/¶x)  - g i (¶w_x/¶x)] dV dt .

Определяя  таким  же  образом  приращения  тепловых  потоков  по  остальным  осям  и  суммируя их,  получим

.

Анализируя  уравнение  неразрывности  потока,  мы  пришли  к  выводу,  что  при  g = const  сумма  последней  скобки  в  выше  приведенной  формуле  равна нулю.

Если  процесс  теплопереноса   происходит  при  постоянном  давлении,  что  имеет  место  в  большинстве  теплотехнологических   агрегатов,  то  всё  приращение  тепла  dQ  расходуется  на  изменение  энтальпии  объёма:

dQ = g dV(¶i /¶t).

Учитывая,  что  ¶i = c_p ¶t  и  приравнивая  правые  части  двух  выражений  для  dQ,  после  деления  на   g с_р dV,  получим уравнение  переноса    энергии