Экономико-математические методы и модели в финансовой деятельности. Оптимальный инвестиционный проект, страница 12

Методические указания по выполнению работы

Предположим, что проект требует инвестиций I_k , k =1,n, в конце n периодов времени (рис. 2.1).

Рис. 2.1. Схема инвестирования проекта

Для финансирования проекта фирма в начальный момент времени создает инвестиционный фонд, размером I₀ денежных единиц. Инвестиционный фонд должен обеспечить выплату требуемых денежных сумм I_k , k =1,n, в моменты времени 1, 2,…, n. Причем деньги вкладываются в инвестиционный фонд только в начальный момент времени. При этом фирма имеет возможность вкладывать деньги из инвестиционного фонда в m видов финансовых инструментов (облигации, банковские депозиты, ссуды и др.). 

Момент времени, когда деньги вкладываются в финансовые инструменты вида i, обозначим через t_i , а момент времени, когда финансовые инструменты вида i обеспечивают доход, – через T_i . Причем будем считать, что 0 ≤ t_i < T_i ≤ n . Эффективную доходность финансовых инструментов вида i обозначим через r_i . Уровень финансового риска, связанного с вложением денег в инструменты вида i, обозначим через R_i . Уровни риска R_i , i =1,m получены с помощью экспертных оценок.

Задача фирмы состоит в том, чтобы минимизировать начальные вложения I₀ в инвестиционный фонд. При этом в течение каждого периода времени средневзвешенный уровень риска, связанный с вложением денег из инвестиционного фонда в финансовые инструменты, не должен превышать заданной величины R .

Построим математическую модель этой задачи. Количество денег, вкладываемых фирмой в финансовые инструменты вида i, обозначим через x_i . Очевидно, что в начальный момент времени  вложения I₀ в инвестиционный фонд вкладываются в финансовые инструменты для которых t_i = 0. Следовательно,

I₀ = ∑x_i .                                                    (2.1)

t_i =0

В этой сумме ограничение t_i = 0 под знаком суммирования означает, что суммирование производится только по тем индексам i, для которых t_i = 0. 

Для каждого момента времени k доход, выплачиваемый финансовыми инструментами с T_i = k , должен обеспечить, во-первых, выплату требуемой суммы I_k, и во-вторых, вложения в финансовые инструменты с t_i = k . Следовательно, должны выполняться следующее неравенства: ∑(1+ r_i )⋅ x_i ≥ I_k + ∑x_i , k =1,n.  Перенеся суммы ∑x_i из правых частей этих

T_i =k t_i =k     t_i =k неравенств в левые, получим:

∑(1+ r_i )⋅ x_i − ∑x_i ≥ I_k , k =1,n.                                    (2.2)

                                                           T_i =k                              t_i =k

Кроме того, поскольку в течение каждого периода времени средневзвешенный уровень риска, связанный с вложением денег из инвестиционного фонда в финансовые инструменты, не должен превышать заданной величины R , должны иметь место ограничения (2.3).

R , k =1,n.                                           (2.3)

t_i <k≤T_i