8.10. Вычисление двойного интеграла
в декартовых координатах
Если в плоской области задана непрерывная функция , то по определению – двойной интеграл от этой функции по области (рис.9).
Выведем правила вычисления двойного интеграла. Сначала рассмотрим область, наиболее просто описываемую в прямоугольной декартовой системе координат.
1. – координатный прямоугольник.
Пусть – прямоугольник, ограниченный прямыми . Так как его стороны параллельны координатным осям, он называется координатным.
|
По определению область нужно разбить на произвольные достаточно малые части , поэтому выберем самый простой для такой области и декартовой системы координат способ разбиения: разобьём на прямоугольники, проведя прямые |
.
Применим двойную нумерацию: ,
(рис.38). Составим интегральную сумму, соответствующую выбранному разбиению:
.
Такая сумма называется двойной, так как имеет два индекса суммирования, но порядок суммирования пока не определен.
Будем вычислять эту сумму следующим образом: сначала просуммируем по k при фиксированном i, то есть складываем слагаемые, отвечающие одному (любому) столбцу, а затем результаты суммируем по i.
Тогда – такая сумма называется повторной, так как порядок ее вычисления задан. Конечно, можно суммировать и наоборот: сначала по i, а затем по k.
По определению определенного интеграла на отрезке при достаточно малом разбиении , а . Переходя к пределу при , получим: если – координатный прямоугольник, то двойной интеграл
.
Интеграл, стоящий в правой части этого равенства , – называется повторным. При этом называется внутренним, а – внешним интегралом. При вычислении такого повторного интеграла сначала находится внутренний интеграл по в пределах прямоугольника при фиксированном значении . Результат его вычисления – функция, зависящая от . Затем находится внешний интеграл от этой функции по х в пределах его изменения.
Другой способ сведения двойной суммы к повторной приведет нас к такому повторному интегралу: . В этом случае внутренний интеграл берется по при фиксированном значении .
Таким образом, чтобы вычислить двойной интеграл, его надо свести к повторному.
ПРИМЕР. Вычислить двойной интеграл по прямоугольнику (рис.39).
|
Запишем повторный интеграл, соответствующий данной области , и вычислим его: . |
2. – область вида: (рис. 40).
|
Разобьем область прямыми, параллельными координатным осям, на достаточно малые части. Фиксируя и вычисляя , , получим суммы, соответствующие столбцам разной длины. Поэтому для того, чтоб лучше представить, каким образом перейти к повторному интегралу в этом случае, проведем вспомогательные линии, пересекающие |
область параллельно оси в направлении возрастания (рис.41).
|
Каждая из таких прямых входит в область на границе , а выходит из нее на . Поэтому естественно назвать кривую линией входа, а – линией выхода. Если представить, что отрезок – бесконечно тонкий столбец (рис.41), то получим, что , |
а так как вспомогательные прямые, пересекающие параллельно оси ординат, можно провести от до , то .
Итак, чтобы вычислить двойной интеграл по области такого вида, надо провести вспомогательные прямые, параллельные оси , пересекающие область в направлении возрастания . Переходя к повторному интегрированию, внутренний интеграл будем вычислять по переменной от линии входа до линии выхода (при фиксированном ), а внешний – по переменной от до .
3. – область вида: .
|
Для такой области проведем вспомогательные прямые, пересекающие параллельно в направлении возрастания (рис.42). Для них линия входа – кривая , линия выхода – . В соответствии с этим . |
ПРИМЕР. Вычислить по параллелограмму, ограниченному прямыми (рис. 43).
|
Проведем вспомогательные прямые, параллельные , и перейдем к повторному интегралу, расставив пределы интегрирования: – линия входа, а – линия выхода и . |
.
4. – произвольная правильная область.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Область называется правильной в направлении оси , если всякая прямая, параллельная и проходящая через внутреннюю точку , пересекает ее границу в двух точках. Плоская область, правильная в направлениях и , называется правильной в декартовых координатах.
|
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.