Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах. Интеграл Пуассона. Криволинейный и поверхностный интегралы второго рода. Формула Гаусса-Остроградского

8.10. Вычисление двойного интеграла

в декартовых координатах

Если в плоской области  задана непрерывная функция , то по определению  – двойной интеграл от этой функции по области (рис.9).

Выведем правила вычисления двойного интеграла. Сначала рассмотрим область, наиболее просто описываемую в прямоугольной декартовой системе координат.

1.  – координатный прямоугольник.

Пусть  – прямоугольник, ограниченный прямыми . Так как его стороны параллельны координатным осям, он называется координатным.                                                                             

По определению область  нужно разбить на произвольные достаточно малые части , поэтому выберем самый простой для такой области и декартовой системы координат способ разбиения: разобьём  на прямоугольники, проведя прямые

.

Применим двойную нумерацию: ,

 (рис.38). Составим интегральную сумму, соответствующую выбранному разбиению: 

.

Такая сумма называется двойной, так как имеет два индекса суммирования, но порядок суммирования пока не определен.

Будем вычислять эту сумму следующим образом: сначала просуммируем по k при фиксированном i, то есть складываем слагаемые, отвечающие одному (любому) столбцу, а затем результаты суммируем по i.

Тогда   – такая сумма называется повторной, так как порядок ее вычисления задан. Конечно, можно суммировать и наоборот: сначала по i, а затем по k.

По определению определенного интеграла на отрезке при достаточно малом разбиении , а . Переходя к пределу при , получим: если  – координатный прямоугольник, то двойной интеграл

.

Интеграл, стоящий в правой части этого равенства , – называется повторным. При этом  называется внутренним, а  – внешним интегралом. При вычислении такого повторного интеграла сначала находится внутренний интеграл по  в пределах прямоугольника при фиксированном значении .  Результат его вычисления – функция, зависящая от . Затем находится внешний интеграл от этой функции по х в пределах его изменения.

Другой способ сведения двойной суммы к повторной приведет нас к такому повторному интегралу: . В этом случае внутренний интеграл берется  по  при фиксированном значении .

Таким образом, чтобы вычислить двойной интеграл, его надо свести к повторному.

ПРИМЕР. Вычислить двойной интеграл   по прямоугольнику   (рис.39).

Запишем повторный интеграл, соответствующий данной области , и вычислим его: .

2.  – область вида:  (рис. 40).      

Рис. 40

Разобьем область прямыми, параллельными координатным осям, на достаточно малые части. Фиксируя  и вычисляя ,  , получим суммы, соответствующие столбцам разной длины. Поэтому для того, чтоб лучше представить, каким образом перейти к повторному интегралу в этом случае, проведем вспомогательные линии, пересекающие

область  параллельно оси в направлении возрастания  (рис.41). 

Каждая из таких прямых входит в область на границе , а выходит из нее на . Поэтому естественно назвать кривую  линией входа, а  – линией выхода.  Если представить, что отрезок  – бесконечно тонкий столбец (рис.41), то получим, что ,

а так как вспомогательные прямые, пересекающие  параллельно оси ординат, можно провести от  до , то .

Итак, чтобы вычислить двойной интеграл по области такого вида, надо провести вспомогательные прямые, параллельные оси , пересекающие область в направлении возрастания . Переходя к повторному интегрированию, внутренний интеграл будем вычислять по переменной  от линии входа до линии выхода (при фиксированном ), а внешний – по переменной  от  до .

3.  – область вида: .        

ПРИМЕР. Вычислить  по параллелограмму, ограниченному прямыми  (рис. 43).

Проведем вспомогательные прямые, параллельные , и перейдем к повторному интегралу, расставив пределы интегрирования:  – линия входа, а  – линия выхода и  .

.

4.  – произвольная правильная область.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Область  называется правильной в направлении оси , если всякая прямая, параллельная  и проходящая через внутреннюю точку , пересекает ее границу в двух точках. Плоская область, правильная в направлениях  и , называется правильной в декартовых координатах.