Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах. Интеграл Пуассона. Криволинейный и поверхностный интегралы второго рода. Формула Гаусса-Остроградского, страница 5

ЗАМЕЧАНИЕ. Если поверхность  удобно проецировать на другую координатную плоскость, то формулы (8.17) и (8.18) соответствующим образом изменятся.

ПРИМЕР. Вычислить , если  часть плоскости  , расположенная в первом октанте (рис.58).      

Из уравнения плоскости получим:

. Кроме того, во всех точках плоскости , поэтому   – по свойству 1 определённого интеграла: площадь проекции  (рис.58), очевидно, равна 1.

Рассмотрим немного более сложный пример.

ПРИМЕР. Вычислить если часть поверхности эллиптического параболоида , вырезаемая из него цилиндром  (рис.59).

Так как на  и , то, пользуясь (8.17) и (8.18), получим .  Проекция  поверхности  на плоскость  – круг (рис.59), поэтому перейдем в двойном интеграле к полярным координатам:

(Замена )

.

ЗАМЕЧАНИЕ. Площадь поверхности, задаваемой уравнением , согласно свойству 1 определенного интеграла и (8.17) вычисляется по формуле:

                                                        (8.19)

ПРИМЕР. Вычислить площадь части поверхности конуса , вырезаемой из него цилиндром  (рис.60).   

На верхней правой четверти этой поверхности, где ,  

.

Отсюда                                   .

Так  как проекция    этой части поверхности  на плоскость  – круговой сектор  (рис.60),  то  будем вычислять полученный двойной интеграл в полярных координатах:

.

8.14. Вычисление тройного интеграла

в декартовых координатах

Пусть в пространственной области  задана непрерывная функция . По определению тройным интегралом от этой функции по области  называется , где точки  , а  – малые части области , на которые она разбивается при составлении интегральной суммы.

Для вычисления тройного интеграла в декартовых координатах разобьем   на достаточно малые части плоскостями  . Тогда  – параллелепипед со сторонами , поэтому, очевидно, элемент объема .

Заметим, что плоскости  являются координатными поверхностями декартовой системы координат  (аналогично координатным линиям  системы координат ): на каждой из этих плоскостей изменяются лишь две из трех координат .

По аналогии с двойным интегралом для того, чтобы вычислить тройной, надо расставить пределы интегрирования, то есть свести тройной  интеграл к трехкратному.

Начнем с самой простой области в системе .

1.  – параллелепипед, грани которого параллельны координатным плоскостям:  .

В этом случае  . Внутренний интеграл  вычисляется по переменной  при условии, что . Результат его вычисления зависит от двух переменных  и . Оставшийся после вычисления внутреннего двойной интеграл вычисляется по проекции параллелепипеда на плоскость .

Этот порядок интегрирования не единственный, так как существует 6 перестановок из трех элементов   

2.  произвольная правильная область.

Ранее было дано определение правильной области в системе координат . Аналогично  этому пространственная область называется правильной, если она правильная в направлениях осей .    

Для того чтобы расставить пределы интегрирования в тройном интеграле, проведем вспомогательные линии, параллельные оси  и проходящие через внутренние точки области  (рис.61). Все эти линии попадают в область  на нижней половине поверхности, ограничивающей область – назовем её поверхностью входа, – а выходят из области на верхней половине, которая в таком случае является поверхностью выхода. 

Поэтому , где  – проекция  на координатную плоскость  (рис.61). Здесь внутренний интеграл берется по  при фиксированных значениях  и . После его вычисления остается найти двойной интеграл по плоской области , и окончательный переход от тройного интеграла к  трехкратному может быть, например, таким: