Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах. Интеграл Пуассона. Криволинейный и поверхностный интегралы второго рода. Формула Гаусса-Остроградского, страница 3

Если  не является правильной областью ни в одном из направлений, то для вычисления двойного интеграла ее следует разбить на части, правильные в направлении какой-либо из координатных осей, и воспользоваться свойством аддитивности.

8.11. Вычисление двойного интеграла

в полярных координатах

Один из способов замены переменных при вычислении двойного интеграла – переход в полярную систему координат. Делать такой переход имеет смысл, когда, например, область интегрирования  проще или удобнее описывается в полярных координатах.

Будем считать, что область  – правильная в полярных координатах.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Область  называется правильной в полярных координатах, если всякий луч, исходящий из полюса и проходящий через её внутреннюю точку, пересекает границу  не более чем в двух точках.

На рис.49  – правильная область в  (но неправильная  в );  –неправильная область;  и – правильные в полярных координатах.

Чтобы найти выражение для элемента площади  в полярной системе координат , разобьем  на достаточно малые части лучами, исходящими из полюса, вдоль которых , и концентрическими окружностями . Такие линии называются координатными линиями полярной системы координат.

Проведем лучи  и окружности  (рис.50).                                                          

Тогда каждую из получившихся таким образом малых частей с площадью  можно приближённо считать прямоугольником со сторонами  и , где  – длина дуги окружности с центральным углом  радиуса . Поэтому , а это значит, что, переходя к пределу в соответствии с определением двойного интеграла, получим:

                                                .                                                (8.15)

Так как  – выражение декартовых координат точки через полярные, то формула перехода от одной системы координат к другой имеет вид:

                                              (8.16)

Чтобы вычислить двойной интеграл (8.16), надо перейти к повторному интегралу, то есть расставить пределы интегрирования в соответствии с заданной областью .

Пусть граница  области  состоит из дуг  и   (рис. 51). 

Проведём вспомогательные линии– лучи, исходящие из полюса и пересекающие . Для каждого такого луча  – линия входа в область, а  – линия выхода, поэтому  .

ЗАМЕЧАНИЕ. Следует обратить внимание на то, что при вычислении двойного интеграла в полярных координатах внутренний интеграл всегда берется по переменной , а внешний, соответственно, – по .

Отметим некоторые частные случаи перехода к повторному интегралу в полярной системе координат (рис.52 и 53):

,

.

ЗАМЕЧАНИЕ. При вычислении двойного интеграла в полярных координатах внутренний интеграл может иметь постоянные пределы интегрирования, лишь если  ограничена координатными линиями, то есть является  кругом с центром в полюсе, сектором, кольцом или его частью. Внешний интеграл всегда имеет постоянные пределы интегрирования.

ПРИМЕР. Вычислить , если  ограничена линиями .     

ЗАМЕЧАНИЕ. Площадь плоской области в полярных координатах согласно свойству 1 определенного интеграла и (8.15) вычисляется по формуле: .