Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах. Интеграл Пуассона. Криволинейный и поверхностный интегралы второго рода. Формула Гаусса-Остроградского, страница 12

Тогда                 

                        .                          (9.10)

Если  – тупой угол, то в правой части этого равенства будет знак «минус».

Наконец, рассуждая аналогично, получим, что

                                               (9.11)

при условии, что угол  ( – угол между осью  и нормалью к S).

Таким образом, из равенств (9.9) – (9.11) следует, что вычисление поверхностного интеграла второго рода можно заменить вычислением трех двойных интегралов по проекциям  поверхности  на координатные плоскости: если направляющие косинусы нормали к поверхности положительны, то

  (9.12)

Здесь  – выражения, полученные из уравнения поверхности  разрешением его относительно соответствующей переменной.

ЗАМЕЧАНИЕ.  В каждой точке поверхности  можно провести две единичные нормали: внешнюю и внутреннюю (рис.84).    

Направления этих нормалей противоположны, поэтому если для внешней нормали, например, , то для внутренней нормали будет . Поэтому переход к другой стороне поверхности меняет знак поверхностного интеграла второго рода на противоположный. Другими словами, если поток вектора в направлении внешней нормали положителен, то в направлении внутренней нормали он будет отрицательным:  .

ПРИМЕР. Вычислить поток вектора  через внешнюю сторону эллиптического параболоида  (рис.85)    

Если переписать уравнение параболоида в неявном виде:  или , то станет ясно, что третья координата нормали к этой поверхности (или вектора ), имеет постоянный знак, не зависящий от координат точки, в которой она проведена.  При этом внешняя нормаль к данному параболоиду образует тупой угол с осью  (рис.85), то есть , а  – единичный круг. Кроме того, левая и правая части параболоида имеют одинаковую проекцию  на координатную плоскость , но на правой половине  , а на левой  . То же самое верно и для проекции на плоскость  (рис.85).  Поэтому

, так как интегралы по  и , а также по  и  взаимно уничтожаются, а  по свойству 1 определенного интеграла.

ПРИМЕР. Вычислить поток вектора  через часть плоскости , расположенную в первом октанте, в направлении нормали, образующей острый угол с осью  (рис.86).   

Так как , то на той стороне плоскости, где угол между нормалью к ней и осью  – острый, все направляющие косинусы  нормали положительны. Поэтому в соответствии с формулой (9.12) , где  равные треугольники в плоскостях  соответственно (рис.86),   

.

Так проекции  и равны, то

. 

Следовательно, .

9.6. Формула Гаусса-Остроградского

Докажем формулу, которая устанавливает связь между тройным интегралом по замкнутой области   и интегралом по поверхности , которая ограничивает эту область.

ТЕОРЕМА (Гаусса-Остроградского). Пусть вектор-функция  непрерывна вместе с частными производными   в некоторой правильной ограниченной замкнутой области . Тогда имеет место формула

 ,          (9.13)

где  – поверхность, ограничивающая область , а  – единичный вектор внешней нормали к .

Формула (9.13) называется формулой Гаусса–Остроградского.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.  По условию  правильная область пространства, проекции которой на координатные плоскости – правильные плоские области. Пусть поверхность  состоит из двух частей (рис. 87).

 , .

Проведем внешнюю нормаль к  и обратим внимание на то, что  на верхней части  нормаль образует острый угол с осью , значит, . На нижней части  , поэтому  (рис.87).

Рассмотрим последнее слагаемое в левой части (9.13):