Математика \ Математика

Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах. Интеграл Пуассона. Криволинейный и поверхностный интегралы второго рода. Формула Гаусса-Остроградского, страница 11

Пусть в каждой точке пространства определён вектор скорости течения жидкости , зависящий от положения точки и не зависящий от времени. Вычислим поток через заданную поверхность , то есть количество жидкости, протекающей через за единицу времени.

Если считать, что – плоская площадка, а – вектор, постоянный по величине и направлению, то за единицу времени частицы жидкости на переместятся в направлении на расстояние и попадут на площадку (рис.83). Следовательно, поток будет равен , где – плотность жидкости, – высота цилиндра.

Пусть – единичный вектор нормали к – угол между нормалью и вектором скорости.

Тогда , поэтому, полагая , получим, что поток .

В общем случае, когда скорость переменна, а – криволинейная поверхность, ограниченная замкнутой кривой , полученной формулой пользоваться нельзя.

Пусть поверхность задана в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением . Если функция дифференцируема, то в каждой точке этой поверхности вектор нормали имеет переменное направление, совпадающее с направлением (см. гл. 6), а – единичный вектор нормали.

Чтобы найти поток, выполним следующие действия:

1) разобьём поверхность на достаточно малых частей

, .

Так как – дифференцируемая функция (то есть в любой точке поверхности может быть проведена касательная плоскость), то можно считать, что каждая часть «почти плоская». Кроме того, если вектор непрерывен, то в пределах малой поверхности он изменяется мало, значит, имеет приблизительно постоянную величину и направление, .

2) выберем внутри каждой части произвольную точку и найдём единичную нормаль к в точке .

3) считая, что , найдем приближенно поток через часть поверхности : .

4) суммируя все , найдём приближенно полный поток через поверхность : .

Чем больше частей и чем меньше их мера, тем точнее это приближенное равенство. Поэтому, если существует предел полученной суммы, когда при условии, что каждая стягивается в точку, который не зависит от способа составления суммы, то естественно принять величину этого предела равной искомому потоку: .

Можно показать, что если векторы непрерывны в точках поверхности , то этот предел существует. Его называют поверхностным интегралом второго рода от вектор-функции и обозначают таким образом: .

Итак, поток жидкости через данную поверхность есть интеграл по этой поверхности от скалярного произведения , где – единичная нормаль к поверхности, – вектор скорости течения жидкости.

Отвлекаясь от физического содержания задачи, можно сформулировать следующее утверждение.

Если во всех точках поверхности задана непрерывная вектор-функция , то потоком вектора через эту поверхность называется поверхностный интеграл второго рода

, (9.8)

где – направляющие косинусы вектора , направленного по нормали к поверхности.

Из этой формулы следует, что вычисление поверхностного интеграла второго рода сводится к вычислению поверхностного интеграла первого рода.

Так как скалярное произведение обладает свойством линейности, а поверхностный интеграл первого рода также линеен и, кроме того, аддитивен, то из формулы (9.8) следует, что поверхностный интеграл второго рода обладает свойствами линейности и аддитивности.

Рассмотрим интеграл и будем считать, что – острый угол между осью и нормалью . Разрешим неявное уравнение поверхности относительно переменной : , или – неявное уравнение этой поверхности, записанное в другой форме. Так как , то