Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах. Интеграл Пуассона. Криволинейный и поверхностный интегралы второго рода. Формула Гаусса-Остроградского, страница 6

.

Так же, как и при вычислении тройного интеграла по координатному параллелепипеду, этот порядок интегрирования не единственный: если провести вспомогательные линии, параллельные оси , то внутренний интеграл будет вычисляться по переменной  при фиксированных  и , а оставшийся двойной интеграл – по проекции  области  на плоскость .

Тогда     .

3.  произвольная пространственная область.

Если  не является правильной областью ни в одном из направлений, то для вычисления тройного интеграла её следует разбить на части, правильные в направлении какой-либо из координатных осей, и воспользоваться свойством аддитивности.

ПРИМЕР. Вычислить , где    .

Область интегрирования  ограничена тремя координатными плоскостями  и плоскостью . Напишем уравнение этой плоскости в отрезках:  – и построим область . Как видно на рис.62,  – тетраэдр .  

Для вспомогательных линий, параллельных , поверхностью входа является , а поверхностью выхода – плоскость  или

, поэтому  , где проекция   –  треугольник , ограниченный линиями  и  или   (рис. 63).

Проведем теперь вспомогательные линии, параллельные : для них  – линия входа, а   – линия выхода. В соответствии с этим получим:

.

ЗАМЕЧАНИЕ. Согласно свойству 1 определенного интеграла объем пространственной области вычисляется по формуле .

ПРИМЕР. Вычислить объем области, ограниченной поверхностями  (рис. 64).

.

8.15. Замена переменных в тройном интеграле

1. ВЫЧИСЛЕНИЕ  ТРОЙНОГО  ИНТЕГРАЛА В ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ  КООРДИНАТ.

Один из способов замены переменных при вычислении тройного интеграла – переход в цилиндрическую систему координат. Делать такой переход имеет смысл, когда, например, проекция области интегрирования  на какую-либо из координатных плоскостей проще или удобнее описывается в полярных координатах.                                                       

Положение точки  в пространстве в цилиндрической системе координат определяется тремя числами:  аппликата точки,  – полярные координаты точки  – ортогональной проекции  на плоскость  (рис.65).

Координатными поверхностями цилиндрической системы координат являются  – плоскость, параллельная ,  – цилиндрическая поверхность с образующей, параллельной оси , и   – плоскость, проходящая через ось  под углом  к оси  (рис.66).

Связь между цилиндрическими и декартовыми координатами точек выражается формулами:  . При вычислении тройного интеграла в цилиндрических координатах внутренний интеграл всегда берётся по переменной , затем – по  и в последнюю очередь – по .  Очевидно, что элемент объёма  (см.(8.15)), поэтому формулу перехода от декартовых координат к цилиндрическим можно записать таким образом:

.

ПРИМЕР. Вычислить объем области, ограниченной поверхностями

.

Уравнение  задает единичную сферу с центром в начале координат,  – координатную плоскость , а уравнение  – цилиндрическую поверхность (см. гл. 3) с образующей, параллельной оси  (так как в нем отсутствует переменная ). Чтобы выяснить, какая кривая является направляющей для этой поверхности, перепишем ее уравнение в цилиндрических координатах: . Так как уравнение цилиндрической поверхности одновременно является и уравнением ее направляющей, то это, очевидно, лемниската Бернулли (рис.67).

Мы будем вычислять объем по формуле  в цилиндрических координатах, поэтому необходимо переписать и уравнение сферы: .