Ktl, где Kt — жесткость пружины (ее коэффициент упругости) Динамическое поведение этой линейной системы уже рассмотрено: при малых нагрузках пружинный измеритель силы является линейной системой второго порядка «пружина с грузом» с демпфированием.
Однако в случае, когда прикладываемая сила велика, сказанное перестает быть справедливым: система становится нелинейной. Нелинейность возникает из-за того, что с увеличением растяжения или сжатия внутренняя пружина измерителя постепенно становится более, жёсткой или мягкой. Жесткость пружины больше не является постоянной. На рис. 2.46(а) показаны зависимости, иллюстрирующие статическое поведение такой нелинейной пружины.
Чтобы описать поведение пружинного измерители силы более реалистично с учетом нелинейности, сделаем в линейном дифференциальном уравнении второго порядка, относящемся к механической системе с поступательным движением, подстановку: v = dl/ dt. В результате получим:
и l = l(t).
Нелинейность возникает из-за четвертого слагаемого в левой части первого из приведенных равенств. Предполагается, что нелинейность пружины симметрична (одинакова для растяжения и сжатия). Наличие нелинейности обусловлено тем, что степень l отлична от 1. Если β > 0, то пружина становится все более жесткой, по мере того, как она растягивается или сжимается. Если β = 0, то пружина линейна, а если β < 0, то она становится все менее упругой с ростом l. При очень малых значениях l система ведет себя как линейная система второго порядка, так как в этом случае βl3 < Ktl и поэтому членом βl3, ответственным за нелинейность, можно пренебречь,
Рис.2.46. Нелинейная система «пружина с грузом». (а) Пружина, становящяася более жёсткой, β > 0; линейная пружина, становящаяся более мягкой β < 0; Fd – сила, необходимая для растяжения/сжатия пружины на величину l основной гармоники свободных колебаний нелинейной системы и нормированной резонансной частотой w/w0.
Чтобы составить верное представление о динамическом поведении, рассмотрим сначала свободные колебания системы: Fd(t) = 0 при t≥0. Кроме того, предположим, что демпфирование отсутствует: Dt = 0. Однажды подвергнутая воздействию, система будет продолжать колебаться, порождая периодический сигнал l = l(l) = l(t ±пТ), п — целое. Теперь период Т = 1/f = 2π/w зависит от амплитуды колебаний! Это показано на рис. 2.46(b). При малых отклонениях частота w оказывается равной угловой частоте w0 линейной системы второго порядка. По мере того, как амплитуда отклонений растет, период укорачивается или удлиняется в зависимости от того, становится пружина более жесткой или менее жесткой (β > 0 или β < 0). Следует заметить, что теперь колебание l = l(t) уже не является чисто синусоидальным, а помимо основной гармоники содержит гармоники высших порядков. Форма колебания также меняется с ростом амплитуды отклонений. Колебание является синусоидальным только при очень малых отклонениях.
Из нашего рассмотрения следует, что в случае нелинейных систем нельзя говорить о частотной характеристике, так как поведение системы теперь зависит от амплитуды! Принцип суперпозиции более не действует, и, как мы увидим дальше, динамическое поведение таких систем может быть самым удивительным.
Предположим теперь, что затухание уже не равно нулю (Dt≠ 0) и на систему действует синусоидальная внешняя возбуждающая сила Fd = Fd (t) с постоянной амплитудой Fd. На рис. 2.47 показано, что случится с такой системой, если пружина постепенно становится более жесткой (β > 0). На этом графике приведена зависимость амплитуды l = l (t) основной гармоники от частоты возбуждения w.
Чтобы построить эту зависимость, необходимо отфильтровать частоту основной гармоники, совпадающую с частотой прилагаемого извне силового воздействия, из (искаженного) сигнала l(t). Здесь мы приводим только амплитуду этой основной гармоники (линеаризированное поведение). Как видим, резонансная кривая больше не имеет того привычного вида, который
|
|
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.
