Учебное пособие по решению контрольных задач, страница 19

3. В любом месте чертежа (рис.18.7) проводим ось x₁ || M¢N¢ и строим проекцию линии пересечения М^IVN^IV на плоскости p₄.

4. Строим точки схода следов плоскостей a и b в системе p₁/p₄ (рис.18.8):

Х_a1 =  Ç x₁;

Х_b1 =  Ç x₁,

а затем следы и :

 ||  || М^IVN^IV.

5. Затем проводим ось x₂ ^ М^IVN^IV и строим проекцию М^VN^V на плоскости p₅ (рис.18.9). На плоскости p₅ линия пересечения MN спроецировалась в точку M^V º N^V.

6. Строим точки схода следов плоскостей a и b в системе плоскостей проекций p₄/p₅:

Х_a2 =  Ç x₂;

Х_b2 =  Ç x₂,

и следы и :

 = (Х_a2M^V);

 = (Х_b2M^V).

7. Если найденный угол j₁ между следами  и  меньше 90°, то он равен искомому.

Если найденный угол j₁ больше 90°, то его необходимо достроить до развернутого угла, а искомый угол будет равен разности между углом 180° и найденным углом.

Поскольку найденный угол j₁ меньше 90°, он и является линейным углом между плоскостями a и b.

Многогранники и кривые поверхности

Задача 19

Построить сечение заданного геометрического тела плоскостью a. Показать видимость сечения. Определить истинную величину сечения.

19.1. Пирамида (рис.19.1)

1. Рассмотрим построение сечения пирамиды способом ребер, т.е. путем нахождения точек встречи ребер SA, SB и SC с плоскостью a. Таким образом, решение задачи сводим к многократному решению задачи на пересечение прямой с плоскостью (см. задачу 7).

Находим точку 1, в которой ребро SA пересекает плоскость a. Для этого через ребро SA проводим вспомогательную плоскость частного положения, например фронтально-проецирующую плоскость b (рис.19.2):

S²A² Î ;    ^ x.

Строим линию пересечения М₁N₁ плоскостей a и b:

 =  Ç ;  Î x;

 =  Ç ;  º A² ( на чертеже не показана)

и точку встречи 1 ребра SA с плоскостью a:

1¢ =  Ç S¢A¢;  1² Î S²A².

2. Аналогично построены точки 2 и 3, в которых ребра SB и SC пересекают плоскость a (рис.19.3). Треугольник 123 является сечением пирамиды SABC плоскостью a.

3. Сторона многоугольника, образуемого в сечении, считается невидимой, если она принадлежит невидимой грани многогранника. В направлении на плоскость p₁ сторона сечения 12 будет невидимой, так как она находится на невидимой грани SAB. В направлении на плоскость p₂ невидимой будет сторона сечения 13, поскольку она лежит на невидимой грани SAC.

4. Определяем натуральную величину сечения любым способом преобразования проекций, например методом перемены плоскостей проекций (рис.19.4). Вводим сначала дополнительную плоскость проекций p₄ из условия

p₄ ^ p₂ и p₄ ^ a

и спроецируем на нее сечение – треугольник 123 (на плоскости p₄ он спроецируется в отрезок 1^IV3^IV2^IV). Затем вводим вторую дополнительную плоскость проекций p₅ из условия

p₅ ^ p₄,  p₅ || (D123).

Проекция треугольника 123 на плоскости p₅ (D1^V2^V3^V) – есть натуральная величина построенного сечения.

19.2. Цилиндр (рис.19.5)

1. В цилиндр вписываем правильную шестиугольную призму ABCDEF (рис.19.6). Поскольку секущая плоскость a пересекает основание цилиндра, две точки, лежащие в сечении, очевидны: точки 1 и 2 лежат в пересечении горизонтального следа  c нижним основанием.