Теория параллельных прямых. Теория треугольника, страница 8

Заметим, что на вопрос о том, как проверить параллельность двух прямых, дети могут ответить, что нужно измерить расстояние. Этот признак можно доказать после введения определения расстояния между параллельными прямыми. В учебнике это определение дается только тогда, когда в нем возникает необходимость (перед доказательством Леммы 1). Но если дети настаивают на своей версии, то рассмотрите с ними этот признак. Также стоит отметить, что он сложнее признака по углам, так как необходимо проводить две прямые и сравнивать длину отрезков, заключенных внутри параллельных прямых. Кроме того, в стандартную программу этот признак не включают.

2.1.5. О теореме Фалеса.

Для лучшего понимания и усвоения доказательство теоремы разбито на три леммы. В каждой лемме мы применяем один и тот же метод доказательства, каждый раз прописывая для конкретного случая признак соответствия поперечин. К сожалению, больше этот признак нигде не используется, поэтому мы его не формулируем отдельно. Но если его выделить и доказать, то доказательство лемм станет гораздо меньше по объему и легче для понимания. Но это так же связано с некоторыми трудностями, так как формулировка признака соответствия поперечин достаточно громоздкая. Приведем здесь этот признак.

Пусть даны два равных угла. Поперечины этих углов будут соответственными, если одна из сторон одного угла равна стороне другого угла и равны углы, образованные равными сторонами и поперечиной.

Рис.2.1.

По признаку соответствия поперечин BC и EF – соответственные поперечины равных углов ÐBAC и ÐEDF (рис.2.1).

Признак соответствия поперечин используется нами вместо II признака равенства треугольников.

2.1.6. Об обратных и противоположных теоремах.

В третьей главе авторы намеренно поместили много заданий на формулирование и доказательство обратных и противоположных теорем. Это связано с тем, что в этой главе много достаточно простых для доказательства теорем. Таким образом, при изучении темы "Теория параллельных прямых" можно сделать акцент на изучение метода обратных и противоположных теорем.

2.2. Методический комментарий к главе "Теория треугольника".

2.2.1. К определению треугольника.

В тексте учебника читатель может увидеть несколько определений треугольника. Это связано с тем, что, во-первых мы даем пробные определения, проверяем их, уточняем. Во-вторых представлено несколько видов определений. С помощью генетического определения осуществлено построение нового объекта. Чтобы можно было строить теорию вокруг нового объекта ему необходимо дать родовидовое (формально-логическое) определение. Когда треугольник определен как система, состоящая из девяти элементов, естественным образом возникает вопрос о взаимоотношении этих элементов. Наиболее важным является вопрос о взаимоотношении углов.

2.2.2. Сумма углов в треугольнике.

Традиционно не говорится об истинном значении Теоремы о сумме углов в треугольнике. На деле эта теорема эквивалентна Аксиоме параллельности. В курсе геометрии вполне можно было бы взять ее за аксиому и на ее основе доказать Аксиому параллельности. На факультативном занятии можно попробовать провести это доказательство.

Поэтому, необходимо акцентировать внимание учеников на этой теореме, а точнее на том, что сумма углов во всех треугольниках одна и та же!

При постановке проблемы о произвольности величин углов можно предложить ученикам взять произвольно три угла и построить треугольник с такими углами.

Также можно дать практическое задание примерно следующего содержания:

1. Постройте два треугольника.

2. Измерьте величины углов в каждом треугольнике и запишите результат.

3. Найдите и сравните суммы углов в этих треугольниках.