Теория параллельных прямых. Теория треугольника, страница 7

s В рамках аксиоматического (формально-логического) определения прямых столько, сколько мы способны различить, то есть определяется аксиомой.

Ответить на вопрос о различении совпадающих прямых можно, вспомнив в рамках какого определения строится теория.

С помощью генетического определения мы строим объекты, затем даем им формально-логическое определение, чтобы можно было построить теорию. Таким образом, отвечать на вопрос необходимо в рамках аксиоматического определения.

Кроме того, при включении совпадающих прямых как различных, требует уточнения аксиома параллельности (через точку, не лежащую на прямой, можно будет провести сколько угодно совпадающих прямых).

Результатом дискуссии могут стать две аксиомы, сформулированные в тексте учебника.

2.1.2. К аксиоме параллельности.

Для постановки проблемы о количестве прямых, непересекающихся с данной прямой, и проходящих через точку, не лежащую на данной прямой, мы предлагаем воспользоваться следующей "памяткой".

Памятка.

1. Пусть дана прямая а и точка М не лежащая на прямой а. Сколько можно провести прямых через точку М, непересекающихся с прямой а?

2. Проиллюстрируйте и ответьте на вопросы:

а) Прямые а и b не пересекаются. Прямая с не пересекается с прямой а. Пересекает ли прямая с прямую b?

b) Прямые а и b не пересекаются. Прямая с пересекается с прямой а. Пересекает ли прямая с прямую b?

3. Можно ли ответить на вопросы из пункта 2, не определившись с ответом на вопрос пункта 1?

Авторы предполагают, что в результате работы с памяткой учащиеся выйдут на границу евклидовой геометрии и увидят, что от того какая аксиома будет принята, зависит какая теория будет развернута.

2.1.3. Об определениях параллельных прямых и плоскости.

Обычно параллельными прямыми на плоскости называют непересекающиеся прямые, а плоскость никак не определяют. Но кроме параллельных прямых не пересекаются равноотстоящие прямые. Невозможно дать определение параллельных прямых до тех пор, пока не введена аксиома параллельности.

Геометрия, не включающая аксиому параллельности, называется абсолютной геометрией, так как утверждения, сформулированные в ней, имеют место во всех геометриях, а не только в евклидовой геометрии. В зависимости от того, какое утверждение будет принято в качестве пятого постулата, меняется значение употребляемых терминов.

В неевклидовых геометриях есть и непересекающиеся непараллельные прямые и некоторая поверхность, на которой рассматриваются геометрические фигуры. Только с введением евклидовой аксиомы параллельности понятия о непересекающихся, равноотстоящих и параллельных прямых совпадают, а поверхность можно назвать плоскостью.

Поэтому параллельными прямыми мы называем непересекающиеся и удовлетворяющие условию аксиомы параллельности прямые. А плоскостью называем поверхность, на которой выполняется аксиома параллельности. При помощи таких определений мы даем понять, что есть теории, в которых существуют непересекающиеся прямые, не удовлетворяющие аксиоме параллельности, и есть поверхности, на которых эта аксиома не выполняется.

2.1.4. К признакам параллельности. О расстоянии между параллельными прямыми.

Чтобы узнать параллельны две прямые или нет, мы предлагаем рассмотреть эти прямые во взаимосвязи с третьей. Но изучение только прямых не дает ответа на вопрос, поэтому мы предлагаем рассмотреть углы, образованные этими прямыми. На уроке, во время обсуждения могут быть введены все виды углов, включая внешние односторонние и внешние накрест лежащие. Можно сразу доказать Утверждение 1. Но задача заключается в нахождении признаков параллельности, поэтому, изучив все виды углов, необходимо вернутся к взаимосвязи углов и параллельных прямых. Можно и не вводить сразу все виды углов, а рассматривать их также как в учебнике, последовательно.