Теория параллельных прямых. Теория треугольника, страница 22

Рис.4.25

То есть, если для каждой из сторон одного треугольника найдется равная ей сторона в другом треугольнике (и обратно), то для каждого из углов одного треугольника найдется равный ему угол в другом треугольнике, и треугольники будут равны по определению.

Итак, мы доказали I признак равенства треугольников.

Теорема 4.5. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

В других учебниках этот признак обычно называют III признаком равенства треугольников.

Итак, для определения равенства двух треугольников не достаточно знать, что одна или две стороны и сколько-то углов одного треугольника равны такому же количеству сторон и углов другого треугольника.

А если к этому знанию добавить еще знание о расположении углов и сторон?

Давайте попробуем в I признаке равенства треугольников заменить отношение одной или двух сторон отношением противолежащих им углов?

Пусть две стороны одного треугольника равны двум сторонам другого треугольника и равны углы между этими сторонами, то есть противолежащие сторонам, про которые ничего не известно (рис.4.26).

Равны ли такие треугольники?

Рис.4.26

В треугольниках на рисунке 4.26 АВ=А₁В₁, АС=А₁С₁, ÐВАС=ÐВ₁А₁С₁. ВС и В₁С₁ – соответствующие поперечины углов ÐВАС и ÐВ₁А₁С₁. Но эти углы равны, значит ВС=В₁С₁. Итак, три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, следовательно такие треугольники равны по I признаку равенства треугольников.

Мы доказали II признак равенства треугольников.

Теорема 4.6. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

А если в I признаке равенства треугольников равенство двух сторон заменить равенством противолежащих углов? Будут ли равны такие треугольники (рис.4.27)?

Рис.4.27

В треугольниках DАВС и DА₁В₁С₁ рисунке 4.27 АВ=А₁В₁, ÐСВА=ÐС₁В₁А₁, ÐСАВ=ÐС₁А₁В₁. Докажем, что треугольники равны.

На луче А₁С₁ отложим отрезок А₁Е, равный отрезку АС (рис.4.28). Углы ÐCАB и ÐЕА₁В₁ равны, значит, их соответствующие поперечины CВ и ЕВ₁ равны (проверьте, действительно ли они являются соответствующими).

Рис.4.28

То есть АС и А₁Е – соответствующие поперечины углов ÐСВА и ÐEB₁А₁, но эти отрезки равны по построению, а значит, угол ÐEB₁А₁ равен углу ÐCBА. Но угол ÐCBА равен углу ÐС₁А₁В₁. Это означает, что равны углы ÐС₁А₁В₁ иÐEB₁А₁, то есть точка Е лежит на луче В₁С₁. По построению точка Е лежит также и на луче А₁С₁. Но эти лучи пересекаются в точке С₁, то есть точки С₁ и Е совпадают и AС=А₁Е=А₁С₁ и  ВС=В₁С₁. А,  значит,  треугольники равны по  I признаку равенства треугольников.