Основные методы теоретического познания, страница 4

          Размерная функция, описывающая колебательный процесс, в этом случае имеет вид:

.

          Из теории колебаний известно, что эта задача сводится к решению дифференциальных уравнений [9]

;   .

          Начальные условия:

при t = 0;    и .

          Это означает, что за начальный принят момент времени, когда маятник отклонен на угол , а скорость его равна нулю. Основополагаясь на системе уравнений и начальных условиях отметим, что в качестве определяющих параметров можно принять: t, l, g, m, , где   – угол  отклонения нити в начальный момент времени; t – время. Очевидно, что в этом случае размерная функция имеет вид

.

          Если учесть, что в этой задаче две зависимые переменные j и N, то можно записать выражения для угла отклонения маятника и силы натяжения нити:

;   .

          Здесь j и f – безразмерные функции.

          С позиции теории подобия функции j  и f  не зависят от системы единиц измерения. Сам вид функции может быть найден либо решением ранее записанных дифференциальных уравнений или путем постановки целенаправленных опытов.

          Записанные выражения имеют три независимых единиц измерения: L, M, T. Тогда в соответствии с p – теоремой получается, что можно составить лишь два безразмерных комплекса

n = m – r = 5 – 3 = 2.

          Один из этих безразмерных комплексов очевиден и представляет собой j. Найдем второй. Размерность любой физической величины, характеризующей процесс, можно выразить через первичные размерности:

.

          Любой безразмерный критерий есть комбинация размерных величин F_i

,

где с – некоторая константа, безразмерная величина, характерная для рассматриваемого процесса.

          Перепишем последнее выражение для процесса колебания математического маятника

или

          Комплексы p должны иметь нулевую размерность. Это будет выполняться, если будет справедливой система уравнений

          Для вычисления числа независимых решений составим матрицу

.

          Пусть r – ранг матрицы размерностей, тогда система имеет (n – r) независимых решений, где n – число существенных величин. В рассматриваемом случае n = 4, а  r  = 3, т.е. мы можем получить единственное, независимое решение.

На основании записанной матрицы составим систему уравнений

          Итак, показатель степени при размерности массы a₄ = 0. Т.е. колебания математического маятника не зависят от величины его массы. Перепишем два оставшихся уравнения