В этих выражения [A] или dimА символы размерности определяемой физической величины А; L, M, T – символы величин, принятых за основные (в механике – длины, массы, времени – соответственно), l, m, t – целые или дробные, положительные или отрицательные действительные числа, называемые показателями размерности и просто размерностью производной величины А.
Выбор основных величин и их единиц в принципе произволен, но практические инженерные и теоретические соображения приводят к необходимости ограничения произвола этого выбора. Так в международной системе единиц (СИ) в качестве основных величин приняты: длина (L), масса (М), время (T), сила тока (I), температура (Q), сила света (J), количество вещества (N). Соответствующие им единицы в порядке перечисления: метр, килограмм, секунда, Ампер, Кельвин, свеча, моль.
Если для исследуемого явления известно, что физическая величина, характеризующая его, может состоять в необходимых связях с определенным набором физических величин, то для функциональной связи составляют уравнения размерностей, в левой части которого стоит размерность определяемой физической величины, а в правой – произведение размерностей величин, зависимость от которых представляется как необходимая.
Таким образом, можно отметить, что метод анализа размерностей позволяет нам в какой-то степени получить необходимую научную информацию даже в том случае, когда с помощью имеющихся данных и других научных методов невозможно найти полного решения поставленной задачи. Анализ размерностей в настоящее время часто рассматривают как синоним p – теоремы Бэкингема и тех выводов, которые из нее следуют.
Перечислим области возможного приложения анализа размерностей [14]:
1) выбор единиц измерения для количественных соотношений;
2) проверка алгебраических соотношений между единицами;
3) преобразование и систематизация единиц измерения физических величин;
4) уменьшение числа независимых параметров;
5) обобщение экспериментальных данных и сравнение с теорией;
6) определение законов моделирования;
7) определение основных, независимых параметров;
8) разработка методов математических аналогий.
В качестве примера рассмотрим гармонический осцилятор, состоящий из груза, подвешенного с помощью пружины к неподвижному объекту. В такой системе переменными будут отклонения массы груза от положения статического равновесия Dx и время t, измеряемое от момента времени, выбранное за начало отсчета. Параметрами процесса колебаний математического маятника являются масса m и жесткость пружины k. Независимыми переменными являются величины, необходимые для фиксации определенного состояния системы. Параметры – величины, зафиксированные для конкретно выбранной системы. Зависимая искомая величина, в общем случае, является функцией как переменных, так и параметров. В рассматриваемом примере независимой переменной будет время. Оно определяет положение груза, ибо параметры системы фиксированы для одной системы и могут изменяться, если мы будем рассматривать возможное множество аналогичных систем.
Для всего многообразия искомая функция, в общем случае, будет иметь вид:
Dx = f (t, m, k).
Рассмотрим более подробно требования однородности уравнений относительно размерностей. Рассмотрим некоторую макроскопическую систему при отсутствии релятивистских эффектов. Запишем для нее первый закон термодинамики
DQ = DU + L
и второй закон Ньютона
F = ma.
Сложим записанные выражения
F – ma = (DU + L) – DQ.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.