Основные методы теоретического познания, страница 3

          С точки зрения математики полученное выражение корректно, но оно полностью лишено физического смысла, ибо представляет собой два физических уравнения и удовлетворяется лишь тогда, когда равны нулю обе его части. Последнее является следствием того, что размерности левой и правой частей различны

.

          Неоднородные по размерностям уравнения с математической точки зрения имеют смысл, но они не пригодны для решения задач конкретной науки. Последнее означает, что все полезные для научного познания уравнения должны быть однородными. Последнее означает, что любая размерность вторичной величины может быть выражена как произведение размерностей первичных величин в соответствующих степенях. Последнее утверждение приводит нас к p – теореме Бэкингема, которая устанавливает связь между функцией выраженной через размерные параметры и функцией выраженной через безразмерные критерии.

          Использование безразмерных критериев позволяет сопоставлять и обобщать результаты. Кроме того, применение безразмерных комплексов позволяет часто рассматривать вместе явления, описываемые в размерном виде различными уравнениями, а следовательно, это дает возможность предсказывать поведение еще неисследованных явлений, из группы сопоставляемых явлений.

          Применение безразмерных параметров – критериев уменьшает число независимых координат, что существенно сокращает массив потребной информации, необходимой для изучения и описания явления.

          Для описания любой физической задачи имеется один или несколько зависимых параметров, каждый из которых может быть выражен как функция некоторых независимых параметров. Пусть зависимый параметр будет , а число независимых параметров составляет величину m₁. Будем независимые параметры обозначать как , , ..., . В этом случае вид функции может быть записан как

,

где f₁ – вид неизвестной функции.

          Последнюю зависимость можно представить как другую неизвестную функцию, записанную в неявном виде

.

p – теорема.

          Если имеется соотношение между m параметрами , то можно найти эквивалентные соотношения между n безразмерными параметрами, где число n определяется как n = m – k.

          Здесь m – число параметров «q»; k – наибольшее число параметров, содержащихся в первоначальном списке , которые не могут быть объединены в какой-либо первоначальный комплекс.

          В списке f₃  p – безразмерные комплексы. При первоначальной формулировке  p  – теоремы Бэкингем [18] установил, что k  численно равно минимальному числу независимых размерностей, необходимых для формирования размерностей всех параметров q_i. Обозначим его через r. Ван Драйст в своей работе [19] показал, что хотя обычно k = r, имеются исключения и общее правило имеет вид                                                  .

          Рассмотрим классический пример, для которого применения анализа размерностей дает хороший результат [9, 14].

          Пусть математический маятник совершает малые колебания, рис.2. Найдем частоту собственных колебаний или как их еще называют свободных колебаний математического маятника. Из элементарного анализа явления можно составить список параметров, определяющих процесс: частота собственных колебаний – w, длина маятника – L, масса маятника – m, ускорение свободного падения – g.