Основные методы теоретического познания, страница 20

          Тема о роли математики в современном творческом процессе неисчерпаема как и сам исследовательский процесс. Математика изменила образ современного мира. Трудно переоценить ее функции в сфере переработки, хранения и использования информации. Помимо черновой рутинной работы, связанной с выполнением обычных инженерных задач и расчетов, математика стала непосредственным и ответственным исполнителем всех генеральных проектов нашего времени. если раньше специалисты и политики опирались на свое «чутье», на интуицию, то такой подход уходит в прошлое.

          Математике доступен анализ сложнейших социально-экономических, экологических, политических и военно-политических ситуаций, неразрешимых в недавнем прошлом естественнонаучных и инженерных проблем.

4 Математическое моделирование

4.1 Стратегия построения моделей. Понятие системы и состояния

Успех исследования как правило зависит от выбора модели, если только исследование включает в себя элементы теоретических построений. Вид модели существенно зависит от того, какая задача решается, т.е. от сферы приложения модели. При построении модели системы следует выделить ее основные компоненты и особенности ее функционирования.

          Понятие системы является категориальным понятием науки.

          Под системой понимается внутренне связанная и обособившаяся, благодаря этим связям, совокупность природных объектов, процессов или образов математической природы. Система выделяется из окружения благодаря определенным функциям, характеризуется специфическим поведением, определенными закономерностями развития, характеристиками места, и границами своего существования. Каждая система характеризуется определенным составом и структурой, функционированием в окружающей среде.

          Состояние любой системы характеризуется набором переменных, называемых параметрами состояния. Основное требование к этому набору заключается в том, чтобы он удовлетворял условию полноты, т.е. определял систему однозначно, обеспечивал перспективой анализа динамики состояний. Так, например, если мы рассматриваем газ как макрофизическое тело, то для его описания можем использовать три параметра состояния давление p, объем V и температуру Т (в границах модели идеального газа). Тогда уравнение состояния идеального газа , где  m – масса газа, содержащегося в объеме V, кг; M – мольная масса, кг/моль; однозначно связывает разные состояния газа и набор параметров p, V, T  в границах логической модели газа является полным.

          Механическая система, состоящая из m материальных точек, однозначно определяется набором декартовых координат (в общем случае – обобщенных координат q_i) и импульсов p_i (в общем случае обобщенных импульсов p_i).

          Набор этих переменных образует математическое пространство возможных состояний (реализуемых и нереализуемых системой). Такое абстрактное пространство называют фазовым пространством или . Точки фазового пространства обладают уникальным свойством – сохранением их числа (плотности). Это следует хотя бы из того, что, если каждое новое состояние рассматривать как новую систему, то системы не могут спонтанно возникать и исчезать. При своем развитии система в фазовом пространстве описывает некоторую «мировую» линию (фазовую линию), элемент которой в тензорном представлении может быть описан зависимостью: . Часто фазовое пространство наделяют свойствами евклидова пространства, т.е. полагают  при всех  и тогда элемент фазового объема  состояний системы с характеристиками будет равен