Построение математических моделей исследуемых систем на основании экспериментальных данных, страница 18

Средние значения определяются по формулам:

          При условии репараметризации   можно с помощью МНК найти оценки значений параметров:

1	2	3	4
2	1	4	3
3	4	2	1
4	3	1	2

                                     рис. 19

                Четырехуровневый латинский квадрат

(с цифровыми обозначениями уровней фактора  С)

            Таблица 2. Результаты  эксперимента.

j i		Уровень фактора  В
		1	2	3	4
Уровни фактора А	1	у111	у122	у133	у144
	2	у212	у221	у234	у243
	3	у313	у324	у332	у431
	4	у414	у423	у431	у442

Суммы квадратов отклонений находятся по формулам:

Так как   ,  то  сумму  квадратов  отклонений внутри фактора  S_R  находим :  

Число степеней свободы  х , связанное с  S_R  определим:

         

Следовательно можно определить отношение Фишера:

       

          Зная отношение Фишера можно найти уровень значимости  α  и определить справедливость гипотезы  Н₀  или  Н₁  вышеописанным путем.  Целесообразность применения латинского квадрата объясняется тем, что для решения задачи  трехфакторной классификации необходимо произвести всего  р²  измерений.  Аналогично латинским квадратам, может быть построен латинский куб для проведения  четырехфакторной классификации (рис. 20) с числом измерений равным  р³.

1		2		3		4
A B C D B A D C C D A B D C B A		B A D C A B C D D C B A C D A B		C D A B D C B A A B C D B A D C		D C B A C D A B B A D C A B C D

                                        рис. 20

                         Слои латинского куба  р = 4

          5.3.2.Факторная классификация на ортогональных греко-латинских квадратах.

          Используя греко-латинские  квадраты  можно сократить число экспериментов с  р³  до  р².      Два латинских квадрата называются ортогональными, если при наложении одного на другой, каждая из пар символов встречается только один раз.  Чтобы построить греко-латинский квадрат,  нужно использовать один латинский и один греческий квадрат (рис. 21).

1		2
A  B  C  D B  A  D  C C  D  A  B D  C  B  A		α  β  γ  δ δ  γ  β  α β  α  δ  γ γ  δ  α  β

Aα  Bβ  Cγ  Dδ Bδ  Aγ  Dβ  Cα Cβ  Dα  Aδ  Bγ Dγ  Cδ  Bα  Aβ

или

1.1   2.2   3.3   4.4 2.4   1.3   4.2   3.1 3.2   4.1   1.4   2.3 4.3   3.4   2.1   1.2

                                        рис. 21

                    Построение греко-латинского квадрата  р = 4

          Результаты измерений приведены в таблице:

j i		Уровень фактора  В
		1	2	3	4
Уровни фактора А	1	у1111	у1222	у1333	у1444
	2	у2124	у2213	у2342	у2431
	3	у3132	у3241	у3324	у4313
	4	у4143	у4234	у4311	у4422

          Четырехфакторная модель характеризуется следующим уравнением:

,

где    уровни  фактора  A,  B,  C,  D  при  р = 4, 

         - ошибка  измерения.

Находим  суммы квадратов  отклонений:

           с  р² – 1  степенями свободы    

        с  р – 1  степенями  свободы

Число  степеней свободы  для  S_R :

                    .

Определим  отношение  Фишера: