Построение математических моделей исследуемых систем на основании экспериментальных данных, страница 11

          С помощью определяющего соотношения можно найти смещение оценок параметров:

и  т.д.

          Рассмотрим четверть-реплику 2^5-2 для определения 6 неизвестных коэффициентов   a_i  ( i = 0,1,…,5)  с  генерирующими  соотношениями  х₄ = х₁х₂   и     х₅ = х₁х₂х₃ . Определяющие соотношения имеют вид  1 = х₁х₂х₄, 1 = х₁х₂х₃х₅. В результате их перемножения получим  1 = х₃х₄х₅, обобщенное определяющее соотношение имеет вид  1 = х₁х₂х₄ = х₁х₂х₃х₅ = х₃х₄х₅ .

          Следовательно , например, оценка коэффициента  :

          4.1.4.Разрешающая способность дробной реплики.

          Качество дробного факторного плана характеризуется с помощью разрешающей способности плана. Разрешающая способность плана  равна  наименьшему числу символов в правых частях обобщенных определяющих соотношений. Так, например, разрешающая способность рассмотренной выше реплики 2^5-2 равна трем. Это обстоятельство условно записывается как   .

          В плане с разрешающей способностью         ни один из главных эффектов не смешивается ни с каким другим главным эффектом, но главные эффекты х_i  смешаны с  эффектами двухфакторных взаимодействий  x_ix_j . В плане с разрешающей способностью  IV главные эффекты х_i не смешиваются друг с другом и с эффектами  2^х факторных взаимодействий.

          Проблема выбора дробных реплик является одной из основных и направлена на то, чтобы выбрать реплику, позволяющую найти несмещенную оценку всех неизвестных параметров системы.

          Рассмотрим, например, регрессионную зависимость:

              y = a₁x₁ + a₂x₂ + a₁₂₃₄₅  x₁x₂x₃x₄x₅ .

          Какую реплику следует выбрать, чтобы коэффициенты не смешивались друг с другом, т.е. не было бы искажения интересующих нас оценок параметров? Выберем дробную реплику 2^5-2 с генерирующим соотношением  х₄ = х₁х₂  и  х₅ = х₁х₃ , тогда определяющие соотношения   1 = х₁х₂х₄    1 = х₁х₃х₅     1 = х₂х₃х₄х₅ .

          Обобщенное определяющее соотношение: 1 = х₁х₂х₄ = х₁х₃х₅ = х₂х₃х₄х₅ .

 Следовательно   

          Генерирующие соотношения выбраны неправильно, т.к. мы получаем смещенную оценку а₁ (а₁ смешивается с оценкой а₁₂₃₄₅).

          Выберем такую же реплику 2^5-2 с генерирующими соотношениями 

х₄ = х₁х₂  и  х₅ = х₁х₂х₃ , 

тогда обобщенное определяющее соотношение:

           1 = х₁х₂х₄ = х₁ х₂х₃х₅ = х₃х₄х₅ .

Находим  оценки   :

          Теперь  коэффициенты     являются несмещенными, т.к.

а₂₄ = а₂₃₅ = а₁₃₄₅ = а₁₄ = а₁₃₅ = а₂₃₄₅ = 0.

Коэффициент      также определяется несмещенно, т.к.  а₄ = а₁₂ = а₃₅ = 0.

          При планировании дробных факторных планов следует выбирать такие генерирующие соотношения, чтобы оценки коэффициентов регрессионной зависимости получались несмещенными.

          Применение дробных реплик позволяет существенно уменьшить число экспериментов, необходимых для определения коэффициентов регрессионной зависимости.

          4.1.5.Главная полуреплика.

          Главной полурепликой называется реплика  с  максимальной разрешающей способностью. Например, полуреплика    имеет разрешающую способность  IV,

если принять  х₄ = х₁х₂х₃ , тогда  определяющее соотношение имеет вид :  1 = х₁х₂х₃х₄ ;

что соответствует максимальной разрешающей способности. При этом условии