Построение математических моделей исследуемых систем на основании экспериментальных данных, страница 13

          Вектор  grad(y) определяется, очевидно, двумя коэффициентами   и  :

           Поэтому приращение 

Каждый последующий шаг расчитывается аналогично, если переместить центр плана  в  новую точку:

          Если для определения оценки градиента используются дробные факторные эксперименты, то для получения несмещенных оценок необходимо, чтобы дробная реплика имела разрешающую способность не менее  4-х.

          Идея рассмотренного метода была предложена Боксом и Уилсоном.

          Если  используется  реплика  2^7-2  с  генерирующим  соотношением 

х₆ = х₁х₂х₃;  х₇ = х₃х₄х₅,

то  обобщеные определяющие соотношения:

             1 = х₁х₂х₃х₀ = х₃х₄х₅х₇ = х₁х₂х₄х₅х₇ .

Следовательно, разрешающая способность – IV, и такая реплика может быть использована для определения         . Реплика 2^7-3 для нахождения градиента использоваться не может, т.к. она не имеет разрешающую способность V.

          4.2.2.Планирование эксперимента  вблизи экстремума.

           Вблизи экстремума необходимо аппроксимировать регрессионную зависимость при помощи полной квадратичной модели:

          Для построения квадратичных моделей нельзя ограничиваться двумя уровнями для варьирования  переменных х_i. Если строить факторные планы 3^р (трехуровневые), то такие планы обладают черезмерной избыточностью, так как число экспериментов при таком планировании  N = 3^p, гда р – число независимых переменных x_i.

          Поэтому при планировании экстремального эксперимента используются обычно центральные композиционные планы (ЦКП).

                                                                                    - звездные точки

                                                                                   α – звездное плечо

                              рис.14

                      Структура  ЦКП 

          План такого вида получается достраиванием плана полного факторного эксперимента (ПФЭ) путем добавления звездных точек (рис.14) и точки в начале координат. Матрица центрального композиционного плана имеет вид:

          ЦКП состоит из обычного полного факторного эксперимента 2², из звездной части и центра.

           Ядро плана – может соответствовать полному или дробному факторному эксперименту (ДФЭ). Но при использовании дробного факторного плана происходит смешивание коэффициентов, поэтому не все дробные факторные планы можно использовать. Обычно используются планы Бокса или планы Хартли.

          4.3.2.ЦКП Бокса.

          Центральным композиционным планом Бокса называется такой план, если его ядром является ПФЭ  2^р или ДФЭ 2^p-m, для которого парные взаимодействия не равны по модулю линейным.

          Чтобы не происходило такого смешения, реплика должна иметь разрешающую способность не меньше IV.

          При к = 5 можно, например, выбрать реплику 2^5-1 которая определяется генерирующим соотношением:  х₅ = х₁х₂х₃х₄ . Определяющее соотношение имеет вид:

          1 = х₁х₂х₃х₄х₅.

          И разрешающая способность т.о. равна 5. Для реализации такого плана необходимо количество экспериментов:  N = 2^5-1 + 2*5 + 1 = 27.