Математический анализ: Курс лекций (часть вторая "Интегральное исчисление функции одной переменной"), страница 9

Пусть в окрестности точки имеет непрерывную производную - порядка и пусть . Тогда по формуле Ньютона – Лейбница

Отсюда

Итак,

Замечание. Если к в интегральной форме применить теорему о среднем, то получим

остаточный член в форме Лагранжа.

2.14. Вторая теорема о среднем

Лемма: Пусть непрерывна на , а– возрастающая, неотрицательная, непрерывно дифференцируемая на функция. Тогда существует точка , такая, что

Доказательство:

Рассмотрим функцию . Очевидно,, , непрерывна на и, следовательно, принимает на нем свои наибольшее и наименьшее значения.

Если , ,

то , .

По условию ; так как возрастающая, то .

Тогда

следовательно, .

Если, то так как и на . Тогда доказываемая формула справедлива .

Если же, то . Значения непрерывной на функции сплошь заполняют отрезок . Поэтому , что или

Теорема: Пусть – непрерывная на функция, а– монотонная, непрерывно дифференцируемая на функция. Тогда существует точка , такая, что

Доказательство:

Предположим для определенности, что возрастает. Рассмотрим разность, причем . Применим к лемму. Это значит, что такое, что или, подставляя вместо равное ему выражение, получим

;

2.15. Геометрические и физические приложения

определенных интегралов

2.15.1. Вычисление длины кривой

Пусть задана .

Определение: Кривой называется множество точек пространства вида , где - параметр (можно рассматривать как время), - параметрические функции, которые предполагаются непрерывными, - называют параметризацией кривой.

Точки кривой соответствующие граничным значениям параметра, т.е. и - называют граничными точками кривой.

Определение: Простой кривой называется кривая, задаваемая так, что , (т.е. различным значениям параметра соответствуют различные точки кривой).

Определение: Пусть и простые кривые, граничные точки которых совпадают, а остальные нет, тогда кривая называется простой замкнутой кривой.

Одна и та же кривая может быть параметризована различными способами.

Пусть даны две параметризации кривой:

Будем говорить, что параметризации эквивалентны, если существует непрерывное, строго монотонное отображение отрезка на такое, что справедливо равенство:

Пример

;

Пусть задана кривая и

произвольное разбиение отрезка .

Пусть точки кривой соответствующие разбиению .

Положим , .

Очевидно, и - длина ломаной , вписанной в кривую .

Определение: Кривая называется спрямляемой, если существует конечная точная верхняя грань сумм , взятая по всевозможным разбиениям отрезка . Эта точная верхняя грань называется длиной кривой и обозначается . Итак, .

Теорема:

Пусть дана кривая. Если функция непрерывно дифференцируема на, то кривая спрямляема и ее длина вычисляется по формуле:

Доказательство:

Пусть - произвольное разбиение отрезка .

{по формуле Ньютона - Лейбница}=

Таким образом, . Это означает, что кривая спрямляема, поскольку - ограничена сверху и, следовательно, имеет точную верхнюю грань, причем .

Пусть . По условию функция непрерывна на отрезке , что эквивалентно непрерывности функций на . Тогда по теореме Кантора эти функции, а, следовательно, и равномерно непрерывны. Это означает, что