Математика \ Математический анализ

Математический анализ: Курс лекций (часть вторая "Интегральное исчисление функции одной переменной"), страница 7

Очевидно, . Разбиение отрезка порождает разбиение отрезка , причем , т.к. каждое слагаемое первой суммы является также слагаемым и второй суммы.

Это означает, что .

4⁰. Если и , то , причем

. (*)

Справедливо также и обратное утверждение:

если , то и и выполняется (*).

Доказательство:

Пусть и , следовательно отрезка отрезка такие, что и . Тогда для отрезка имеем

следовательно .

Докажем равенство (*).

Пусть и - произвольные разбиения отрезков и соответственно и .

Очевидно, , , , если то и наоборот. Переходя к пределу в последнем равенстве, получим

или

Замечание: Можно показать, что равенство (*) имеет место и в том случае, когда .

5⁰. Если функция на за исключением конечного числа точек, то и .

Доказательство:

Очевидно, что имеет на конечное число точек разрыва, поэтому по доказанному ранее .

Пусть - произвольное разбиение отрезка и - множество промежуточных точек, таких, что , т.е. ни одна из точек не совпадает с точкой разрыва.

Составим интегральную сумму

Переходя к пределу при , получим

6⁰. Если функцию изменить в конечном числе точек, то полученная функция будет интегрируемой на и интеграл ее не изменится.

Доказательство:

Пусть - функция, измененная в конечном числе точек отрезка . Рассмотрим , (за исключением конечного числа точек). Тогда по предыдущему свойству и.

7⁰.Если , то и .

Доказательство:

В силу интегрируемости функций и на , они ограничены на нем, т.е. существуют , такие, что , . Следовательно, также ограничено, т.к. .

Пусть - произвольное разбиение отрезка . Оценим выражение , где и .

Учитывая , и последнее равенство, имеем

где и - колебания функций и на .

Из последнего неравенства для колебания произведения на отрезке имеем , следовательно

В силу интегрируемости функций и имеем

Следовательно, .

8⁰.Пусть , причем . Тогда .

Доказательство:

Для произвольного разбиения и произвольных точек имеем

Переходя к пределу при , получим .

9⁰. Если , то и , причем , .

Доказательство:

- ограничена - ограничена на .

, очевидно, имеет место неравенство

Пусть - произвольное разбиение отрезка ; и - колебания функций и на отрезке .

Тогда для точек имеем

Поэтому

Отсюда, поскольку, то и , а это значит, что .

Пусть . Тогда . Переходя в этом неравенстве к пределу при и замечая, что

получим

, .

2.10. Первая теорема о среднем

Теорема 1: Пусть функции, причем – неотрицательная (неположительная) на и , .

Тогда .

Доказательство:

Предположим, для определенности, что . Тогда, умножая неравенство на , получим

. (*)

По свойству 8: .

Так как , то ,

и полагая, , получим отсюда

Если же , то из (*) следует, что и - любое число из .

Следствие 1: Если – непрерывная функция на , а – неотрицательная (неположительная) и , то .

Доказательство:

Пусть и .

В силу непрерывности функции , она принимает все значения на , следовательно, найдется точка , . Тогда из предыдущей теоремы следует справедливость доказываемого утверждения.

Определение: Пусть.

Число называется интегральным средним значением функции на .

Следствие 2: (об интегральном среднем для непрерывных функций)Если – непрерывная на функция, то ее интегральное среднее на этом отрезке равно значению функции в некоторой точке, т.е.