{по свойству аддитивности}
.
Так
как, то она ограничена на
,
то есть,
.
Имеем
.
Очевидно,
, т.е.
непрерывна
в точке
.
Так
как - произвольная точка
, то
непрерывна
на
.
Теорема
2: Если и непрерывна в точке
, то функция
–
дифференцируема в точке
и
.
Доказательство:
Покажем,
что ,
где ,
.
Очевидно, и
.
Тогда
.
Пусть задано
произвольное . В силу непрерывности функции
в точке
:
и
.
Выберем
.
Тогда
имеем
и,
следовательно,
.
Это
означает, что , т.е.
.
Следствие
1: Если функция непрерывна на отрезке
, то функция
является
первообразной функции
на
.
Доказательство:
Если функция непрерывна на отрезке
, то она интегрируема на нем. Тогда по
доказанной теореме
,
и по
определению функция
является первообразной
на
.
Следствие
2: (Формула Ньютона - Лейбница).Если - непрерывна на
и
- какая-либо ее первообразная на этом
отрезке, то
.
Доказательство:
Пусть . Согласно теореме 2 функция
является первообразной
на
.
Следовательно,
и
- две
первообразные одной и той же функции,
,
,
, т.е.
,
.
При
.
При
.
Для удобства записи полагают
и тогда пишут
.
Пример
.
Теорема: Если функции и
непрерывно дифференцируемы на отрезке
, то справедливо равенство:
.
Эта формула называется формулой интегрирования по частям в определенном интеграле.
Доказательство:
Имеем
Все написанные интегралы существуют, так как подынтегральные функции непрерывны. Согласно формуле Ньютона – Лейбница имеем:
.
Так как левые части последних двух равенств равны, то равны и правые части, откуда получаем:
.
Теорема: Пусть
1) функция непрерывная на отрезке
;
2) функция определена и непрерывна со своей производной
на отрезке
, причем
,
,
.
Тогда имеет место равенство
.
(*)
Эта формула называется формулой замены переменной в определенном интеграле или формулой интегрирования подстановкой.
Доказательство:
Заметим,
что определена на множестве значений функции
, поэтому сложная функция
имеет смысл
.
Так как подынтегральные функции в обеих частях равенства (*) непрерывны, то оба интеграла существуют.
Пусть
какая либо первообразная функции
на
. Тогда для
имеет
смысл сложная функция
, которая является первообразной
для функции
. По формуле Ньютона – Лейбница
,
.
Из этих равенств следует формула (*).
Замечание 1: При доказательстве теоремы производные всех функций (в том числе сложной) на концах отрезков понимались как соответствующие односторонние производные.
Замечание 2: В формуле (*) левая и правая части есть одно и то же число. Поэтому при замене переменной в определенном интеграле нет необходимости после интегрирования возвращаться к исходной переменной.
Следствие
1: Пусть ,
.
Тогда:
1)
, если
-
четная;
2)
, если
-
нечетная .
Доказательство:
Докажем утверждение 2).
Пусть - нечетная функция на
.
Рассмотрим
произвольное разбиение отрезка
и
промежуточный набор точек
, а также разбиение
отрезка
, точки
которого симметричны точкам разбиения
относительно
0, и набор промежуточных точек
на отрезках разбиения
.
Очевидно,
,
, где
,
.
Пусть - разбиение отрезка
.
Тогда, очевидно,
={в силу нечетности } =
.
Переходя в этом
равенстве к пределу при (а, следовательно,
), получим
.
Аналогично доказывается утверждение 1).
Следствие 2: Пусть непрерывна на всей числовой оси
и периодическая с минимальным периодом
. Тогда
справедливо равенство:
.
Доказательство:
Пусть
, тогда
.
Очевидно, .
Тогда
;
Поэтому
.
Пример
.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.