Математика \ Математический анализ

Математический анализ: Курс лекций (часть вторая "Интегральное исчисление функции одной переменной"), страница 8

{по свойству аддитивности}.

Так как, то она ограничена на ,

то есть, .

Имеем

Очевидно, , т.е. непрерывна в точке .

Так как - произвольная точка , то непрерывна на .

Теорема 2: Если и непрерывна в точке, то функция – дифференцируема в точке и .

Доказательство:

Покажем, что ,

где , .

Очевидно, и.

Тогда

Пусть задано произвольное . В силу непрерывности функции в точке : и . Выберем .

Тогда имеем и, следовательно,

Это означает, что , т.е. .

Следствие 1: Если функция непрерывна на отрезке , то функция является первообразной функции на.

Доказательство:

Если функция непрерывна на отрезке , то она интегрируема на нем. Тогда по доказанной теореме , и по определению функция является первообразной на .

Следствие 2: (Формула Ньютона - Лейбница).Если - непрерывна на и - какая-либо ее первообразная на этом отрезке, то .

Доказательство:

Пусть . Согласно теореме 2 функция является первообразной на . Следовательно, и - две первообразные одной и той же функции, , , , т.е. , .

При .

Для удобства записи полагают

и тогда пишут

Пример

2.12 Формулы интегрирования по частям и

замены переменной в определенном интеграле

2.12.1. Формула интегрирования по частям

в определенном интеграле

Теорема: Если функции и непрерывно дифференцируемы на отрезке , то справедливо равенство:

Эта формула называется формулой интегрирования по частям в определенном интеграле.

Доказательство:

Имеем

.

Все написанные интегралы существуют, так как подынтегральные функции непрерывны. Согласно формуле Ньютона – Лейбница имеем:

Так как левые части последних двух равенств равны, то равны и правые части, откуда получаем:

2.12.2. Замена переменной в определенном интеграле

Теорема: Пусть

1) функция непрерывная на отрезке ;

2) функция определена и непрерывна со своей производной на отрезке , причем , , .

Тогда имеет место равенство

. (*)

Эта формула называется формулой замены переменной в определенном интеграле или формулой интегрирования подстановкой.

Доказательство:

Заметим, что определена на множестве значений функции , поэтому сложная функция имеет смысл .

Так как подынтегральные функции в обеих частях равенства (*) непрерывны, то оба интеграла существуют.

Пусть какая либо первообразная функции на. Тогда для имеет смысл сложная функция , которая является первообразной для функции . По формуле Ньютона – Лейбница ,

Из этих равенств следует формула (*).

Замечание 1: При доказательстве теоремы производные всех функций (в том числе сложной) на концах отрезков понимались как соответствующие односторонние производные.

Замечание 2: В формуле (*) левая и правая части есть одно и то же число. Поэтому при замене переменной в определенном интеграле нет необходимости после интегрирования возвращаться к исходной переменной.

Следствие 1: Пусть ,.

Тогда:

1) , если - четная;

2) , если - нечетная .

Доказательство:

Докажем утверждение 2).

Пусть - нечетная функция на .

Рассмотрим произвольное разбиение отрезка и промежуточный набор точек , а также разбиение отрезка , точки которого симметричны точкам разбиения относительно 0, и набор промежуточных точек на отрезках разбиения .