Математический анализ: Курс лекций (часть вторая "Интегральное исчисление функции одной переменной"), страница 12

              Теорема: Если основанием прямого цилиндра является квадрируемая фигура , то цилиндр есть кубируемое тело и его объем вычисляется по формуле:

,

где - площадь основания , а  - высота цилиндра.

Доказательство:

Так как  квадрируемая фигура, то  существуют вписанная  в  и  описанная  около  многоугольные фигуры, такие что: .

Построим призмы  и  с основаниями соответственно  и  и высотой , тогда

.

Поскольку   и являются вписанным и описанным в цилиндр многогранниками, то цилиндр есть кубируемое тело, и так как, то .

€

Рассмотрим теперь тело , которое содержится между плоскостями , . Будем рассекать тело  плоскостями перпендикулярными оси .

 Предположим, что все эти сечения квадрируемы, и площадь сечения, которая соответствует абсциссе  (обозначим  ее через ), является непрерывной функцией от .

Предположим, что если два различных сечения спроецировать на одну плоскость перпендикулярную оси , то их проекции содержатся одна в другой. В этом случае тело  кубируемо и его объем вычисляется по формуле:

.

Доказательство:

Пусть  произвольное разбиение отрезка . Через точки разбиения проведем плоскости, перпендикулярные оси . Эти плоскости разобьют тело  на слои. Рассмотрим - ый слой тела , заключенный между плоскостями  и .

Пусть

;

.

Если сечения, отвечающие различным значениям  , спроецировать на одну из рассматриваемых плоскостей, например, , то все их проекции (учитывая сделанное выше предположение) содержатся внутри наибольшей из них, имеющей площадь  и содержат в себе наименьшую, имеющую площадь . Построим прямые цилиндры с образующими параллельными оси  и основаниями с наибольшей и наименьшей проекциями. Объемы этих цилиндров будут равны: , . - ый слой тела содержится в большем из этих цилиндров и содержит в себе меньший. Из входящих цилиндров составится тело , из выходящих – тело , причем

,

.

              Очевидны неравенства . С другой стороны, левая и правая суммы этих неравенств являются суммами Дарбу для функции  на , следовательно, при  имеют общий предел (так как  - непрерывна)

.

€

2.15.7.  Объём тела вращения

Теорема: Пусть функция  непрерывна на отрезке .

Тогда тело , образованное вращением вокруг оси  криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции , прямыми ,   и осью    кубируемо и его объём равен

.

Доказательство:

Без ограничения общности можно считать, что .

Полученное в результате вращения криволинейной трапеции, ограниченной кривой , тело, очевидно, подходит под рассмотренный в предыдущем пункте случай, т.к. все его сечения проектируются на перпендикулярную к оси  плоскость в виде концентрических кругов.

Причём, очевидно,

.

Поэтому

.

€   

 2.15.8. Площадь поверхности вращения

Пусто дана незамкнутая кривая . Рассмотрим некоторую ось в пространстве и найдём площадь поверхности вращения линии  вокруг этой оси.

 

Возьмём на  т.  и маленький элемент  дуги кривой. Этот элемент описывает в пространстве полоску, площадь которой приближенно равна

,

где  - расстояние точки  от оси вращения.

Вся поверхность вращения находится как интеграл

.

Пусть  и т..

Тогда ,  и  

, .

Рассмотрим случай, когда кривая  есть плоская кривая, лежащая в верхней полуплоскости плоскости  и задана уравнением . Тогда, очевидно, площадь поверхности вращения этой кривой вокруг оси  будет

.

2.15.9 Физические приложения интегралов

Определение: Пусть дана материальная точка массы . Ее статическим моментом относительно прямой  называют произведение массы этой точки на расстояние  до прямой .

Определение: Статическим моментом точки относительно плоскости называется произведение массы точки на расстояние от данной точки до данной  плоскости.

                   

Определение: Моментом инерции точки относительно прямой  называется произведение массы точки на квадрат её расстояния  до прямой.

.

2.15.10. Статические моменты и центр масс кривой