Математический анализ: Курс лекций (часть вторая "Интегральное исчисление функции одной переменной"), страница 3

, , , ,

, , .

Поэтому 

.

2. Применим метод Остроградского для вычисления интеграла

.

Решение:

 

 

Тогда, так как  ,  то

.

Далее решение аналогично решению примера 1.

1.6. Интегрирование тригонометрических функций

1.6.1. Интегралы вида

  - рациональная функция переменных (от функций) , .

              Интегралы вида  находятся с помощью (универсальной) подстановки  .

              Посредством этой подстановки  преобразуется к интегралу от рациональной функции.

{разделим числитель и знаменатель на }

.

{разделим числитель и знаменатель на }

.

,  ,    .

Тогда .

Пример.

Найти интеграл .

Решение:

 

.

Разложим подынтегральную функцию (рациональную дробь) на простейшие дроби.

.

                  ,

тогда

.

              Универсальная подстановка часто приводит к громоздким выкладкам, поэтому иногда лучше применять другие подстановки.

Из алгебра известно, что если , то функцию  можно представить в виде

,

если , то .

Поэтому:

1) если , то

,

и рационализация достигается подстановкой .

2) если,

то

и рационализация достигается подстановкой .

              3) если , то

,

{в силу свойства этой функции}

.

Тогда

.

Замечание: Имеют место равенства

,

,

.

1.7. Интегралы от иррациональных функций

Тригонометрические подстановки

1. 

.

2.  

.

3. 

.

1.7.1. Интегралы вида

Будем считать, что  - рациональные числа,  - действительные и , (поскольку в противном случае выражение  не зависит от  и под интегралом будет рациональная функция от ).

              Пусть  - общий знаменатель чисел , т.е. ,

( - целое ).

Положим        

 - рациональная функция,

, где  - рациональная функция.

Тогда

,

где - рациональная функция.

              Примеры:

1. Найти интеграл  .

Решение:

.

2. Найти интеграл.

Решение:

.

1.7.2. Интегралы вида

Подстановки Эйлера

              1.  Пусть  и . Тогда полагают

- знаки можно выбрать произвольно.

 - рациональная функция.

Тогда и рациональная функция.

,

 - рациональная функция.

Таким образом,

,

где  - рациональная функция.

2.  Пусть  и . Тогда полагают

- знаки можно выбрать произвольно.

;

;

;

 - рациональная функция.

Тогда и  рациональная.

,

- рациональная функция.

Таким образом,

,

где  - рациональная функция.

              3.  Пусть  и ,  - действительные корни.

1)

 

 - интеграл от рациональной функции.

2)

Положим,  или

 - рациональная функция.

Тогда и рациональная.

,

- рациональная функция.

Таким образом, 

,

где  - рациональная функция.

              Замечание 1. Если , , то

.

              Последний из интегралов принадлежит к виду, интегрирование которых рассмотрено ранее.

              Замечание 2. Даже в случае если,и , то можно применять подстановку 1 или подстановку 2.

Пример

Найти интеграл

Решение:

Разложим подинтегральную функцию на простейшие дроби.

                 

.

1.7.3. Интегрирование дифференциальных биномов

              Определение: Выражение вида  называется дифференциальным биномом, где , , ,  - рациональные.

{}.

Рассмотрим случаи:

1. - целое, , - целые.

Замена:    , .

.

Получили интеграл от рациональной функции.

2.  - целое, , - целые.

Замена:    , , .

.

Получили интеграл от рациональной функции.

3.  - целое, , - целые.

.

              Тогда подстановка  приводит этот интеграл к интегралу от рациональной функции.

Применительно к интегралу  мы рассмотрели случаи:

Им соответствуют подстановки (подстановки Чебышева):

              1) , где  - знаменатель дроби ;

              2) , где  - знаменатель дроби ;

3) , где  - знаменатель дроби .

Чебышев показал, что если и , и , ни - не являются целыми числами, то интеграл от дифференциального бинома не может быть выражен в конечном виде в элементарных функциях.

Пример

Найти интеграл .

Решение: