Математика \ Математический анализ

Математический анализ: Курс лекций (часть вторая "Интегральное исчисление функции одной переменной"), страница 13

Пусть задана кривая и непересекающая ее прямая . Будем считать, что на кривой распределена масса с плотностью (задана линейная плотность кривой)

Под линейной плотностью кривой понимаем предел

где – длина дуги, которой принадлежит т. ;

– масса дуги . (при дуга стягивается в точку ).

Найдём статический момент кривой относительно прямой.

Пусть – произвольная точка кривой. Рассмотрим элементарную дугу длины , содержащую точку . Пусть масса этой дуги и расстояние от точки до прямой равно .

Тогда

Зададим кривую радиус - вектором .

Тогда

Частные случаи:

1. Предположим, что кривая лежит на плоскости и задана в параметрической форме , , .

Тогда, очевидно,

;

2. Если кривая задана на плоскости в явном виде , , , то

;

Определение: Центром масс системы материальных точек называется точка с координатами , такая, что если в ней сосредоточить всю массу системы, то статические моменты данной материальной точки относительно любой координатной плоскости равны соответствующим моментам системы.

В развернутом виде

; ; .

2.15.11. Первая теорема Гульдина

Теорема: Площадь поверхности, полученной в результате вращения кривой вокруг непересекающей ее оси, равна произведению длины кривой на длину окружности, описанной центром тяжести кривой.

Следовательно,

Пример. Найти координаты центра тяжести полуокружности радиуса .

Решение:

Очевидно .

Чтобы найти , воспользуемся теоремой Гульдина:

Координаты центра тяжести полуокружности .

2.15.12. Статические моменты и центр масс

плоской фигуры

Пусть дана фигура, ограниченная линиями , , ,. В этой фигуре распределена масса с поверхностной плотностью

, .

где – часть (малая) фигуры, содержащая точку ;

– максимальный диаметр площадки ;

– масса (при площадка стягивается в точку ).

Найдём статические моменты плоской фигуры относительно осей и . Пусть . Разобьем фигуру на элементарные полоски и выделим элементарную полоску шириной на расстоянии (см. рис.). Очевидно, центр масс этой полоски находится в точке – пересечения диагоналей.

Тогда

Масса рассматриваемой фигуры, очевидно, равна

Если - центр масс фигуры, то ,

, .

Замечание: Объём тела, полученного в результате вращения фигуры вокруг оси , равен

Тогда

2.15.13. Вторая теорема Гульдина

Теорема: Объём тела вращения фигуры вокруг непересекающей ее оси равен площади этой фигуры, умноженной на длину окружности, описываемой центром масс фигуры.

Пример

Найти координаты центра тяжести полукруга радиуса .

Очевидно, .

По второй теореме Гульдина

Координаты центра тяжести круга .

Работа

Пример. Какую работу необходимо затратить, чтобы выкачать жидкость из резервуара, имеющего форму параллелепипеда со сторонами .

Пусть . На глубине рассмотрим элементарный слой жидкости толщиной .

Масса этого слоя ,

а вес

Элементарная работа по выкачиванию этого слоя будет равна

Вся работа .

3. Несобственные интегралы

Определение:Пусть функция определена на , и интегрируема по Риману на отрезке . Если существует предел , то говорят, что функция интегрируема в несобственном смысле на , а указанный предел называется ее несобственным интегралом и обозначается .