Математический анализ: Курс лекций (часть вторая "Интегральное исчисление функции одной переменной"), страница 5

Доказательство:

Достаточно доказать для разбиения , которое отличается от разбиения на одну точку . Пусть попадает внутрь отрезка . Составим верхние суммы Дарбу для разбиений и .

где ;

где , .

Очевидно, и , поэтому

Откуда следует, что .

Аналогично доказывается, что .

2⁰. Любая нижняя сумма не превосходит любой верхней суммы, даже и отвечающей другому разбиению отрезка .

Доказательство:

Рассмотрим два различных разбиения и отрезка и докажем, что .

Объединив точки разбиений и , получим . По свойству 1 следует, что и , из свойства 1. Тогда .

Из доказанного следует, что множество нижних сумм ограничено сверху, например, любой верхней суммой и, следовательно, имеет точную верхнюю грань .

Множество верхних сумм ограничено снизу, например числом , поэтому существует его точная нижняя грань , причем, очевидно .

Таким образом, для любых нижней и верхней суммы Дарбу.

Числа и называются соответственно верхним и нижним интегралами Дарбу от функции .

3⁰. Если функция ограничена на , то имеют место следующие равенства:

и .

Доказательство:

Заметим, что означает, что

отрезка

Рассмотрим два разбиения и отрезка , , причем отличается от на одну точку , т.е. , . Из доказательства свойства 2 имеем

Очевидно, , , где

и , где .

Тогда

Итак, .

Пусть теперьотличается от на точек :

, , . . . , .

Очевидно,

…………………………..

Сложив левые и правые части неравенств, получим

Из того, что . Выберем , где - число точек разбиения.

Пусть произвольное разбиение, такое, что . Рассмотрим разбиение . Тогда

Итак, имеем .

С другой стороны, разбиение можно рассматривать как разбиение, полученное из добавлением к нему точек разбиения , поэтому по свойству 1

Тогда в соответствии с неравенством получаем .

Складывая неравенства и , получим

Аналогично доказывается и равенство .

2.5. Критерии интегрируемости функции

Теорема: Следующие утверждения эквивалентны:

1. Функция интегрируема по Риману на ;

2. ;

3. (критерий Дарбу);

4. (критерий Римана).

Доказательство:

1. Докажем, что из первого утверждения следует второе:

Пусть интегрируема на , т.е. существует .

Это означает,

разбиения отрезка .

Из последнего неравенства имеем .

Ранее мы установили, что числа и являются соответственно точной верхней и точной нижней гранями интегральных сумм, на множестве всех промежуточных точек разбиения , следовательно,