Математический анализ: Курс лекций (часть вторая "Интегральное исчисление функции одной переменной"), страница 4

Перепишем интеграл в виде .

В данном примере , , .

Составим выражение - целое число. Следовательно, здесь мы имеем второй случай интегрируемости.

Замечание. Как видим, не все интегралы от элементарных функций выражаются в конечном виде в элементарных функциях. К числу таких интегралов (кроме уже рассмотренных) в частности относятся

, , , , , , .

2. Интеграл Римана (определенный интеграл)

2.1. Разбиение отрезка

Пусть дан отрезок .

Определение: Разбиением отрезка называется любое множество его точек , , включающие концы отрезка и такое, что

при этом пишут .

Каждый из отрезков , называется отрезком разбиения, а его длиной . Величину называют диаметром разбиения.

Определение: Назовём измельчением (продолжением) разбиения , если всякая точка разбиения является точкой разбиения . Очевидно, .

Пусть .

Тогда из того, что

получим

2.2. Интегральные суммы Римана

Пусть на отрезке определена ограниченная функция и - некоторое разбиение . Выберем в каждом отрезке произвольную точку и составим сумму

Эта сумма называется интегральной суммой Римана для функции , соответствующая разбиению и данному набору (выбору) точек , т.е. набору .

Геометрически (если ) интегральная сумма – сумма площадей прямоугольников, основаниями которых являются отрезки , а высоты равны .

Пусть, .

Тогда

Рассмотрим последовательность разбиений отрезка - , таких что , и соответствующие последовательности интегральных сумм .

Определение: Число называется пределом интегральных сумм при если:

при любом выборе точек на каждом из отрезков разбиения.

Определение: Функция называется интегрируемой по Риману на , если существует конечный пределинтегральных сумм этой функции при , этот предел называется интегралом Римана или определенным интегралом от на и обозначается

По определению полагают:

, .

Теорема: Если интегрируема по Риману на , то она на нем ограничена.

Доказательство:

Заметим, что если интегрируема на , то все ее интегральные суммы с достаточно малым диаметром разбиения ограничены.

В самом деле,

такого что .

Тогда, т. е. ограничены, если .

Предположим, что не ограничена на и - его некоторое произвольное разбиение. Тогда не ограничена на одном из отрезков разбиения, пусть, например, на .

Запишем интегральную сумму

Зафиксируем точки на всех отрезках разбиения за исключением отрезка . На этом отрезке рассмотрим последовательность : . Это можно сделать, поскольку не ограничена. Тогда последовательность , а это противоречит тому, что интегральные суммы для всех разбиений с достаточно малым диаметром – ограничены.

Следовательно, ограничена.

2.3. Верхние и нижние интегральные суммы (суммы Дарбу)

Пусть функция ограничена на и - разбиение этого отрезка.

Пусть и соответственно точная верхняя и точная нижняя грани на отрезке

Суммы:

;

называются соответственно верхней и нижней интегральными суммами (суммами Дарбу) функции данного разбиения отрезка . В частности, когда непрерывна на , то суммы Дарбу являются наибольшей и наименьшей из интегральных сумм, отвечающих данному разбиению (это следует из второй теоремы Вейерштрасса), т.е. .