Из алгебры известно, что всякий многочлен с действительными коэффициентами можно разложить на множители с действительными коэффициентами первой и второй степени соответствующей кратности, то есть
,
причем
Линейные множители соответствуют действительным корням, а квадратные трехчлены – комплексным.
Всякую рациональную функцию можно представить в виде рациональной дроби
Если , то дробь
неправильная, если же
правильная.
Если дробь неправильная , то ее всегда можно представить в виде многочлена (
целой части ) и правильной дроби
Определение: Правильные рациональные дроби вида:
I.
II. (
целое положительное число);
III. (корни
знаменателя комплексные, то есть
);
IV. (
- целое
положительное число; корни знаменателя комплексные);
называются простейшими дробями.
Теорема: Если
то
правильная несократимая рациональную дробь можно
быть единственным образом разложена в сумму простейших дробей:
где
действительные числа.
Одним из наиболее простых методов определения коэффициентов в разложении правильной дроби на простейшие является метод неопределенных коэффициентов. Рассмотрим его на примерах.
Примеры:
1.
Разложить на простейшие дроби .
Решение:
Дроби равны, знаменатели равны, следовательно, равны числители
,
.
Пользуясь основной теоремой алгебры, можно показать, что два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях, то есть
,
поэтому
.
2. Разложить на простейшие дроби .
Решение:
,
.
Это
равенство справедливо при любых значениях .
,
поэтому
.
I. ;
II.
,
;
III.
.
Последний интеграл есть табличный и представляет собой арктангенс.
IV.
Рассмотрим сначала .
,
.
.
.
Заметим, что при .
.
Теорема: Всякая рациональная дробь интегрируется в элементарных функциях посредством рациональных дробей, арктангенсов и натуральных логарифмов.
Интегралы от простейших дробей вида I и II являются трансцендентными функциями.
Интеграл от дроби II, знаменатель
которой есть двучлен в степени , является правильной
рациональной дробью со знаменателем, равным тому же двучлену в степени
.
Интеграл от дроби вида IV, знаменатель
которой есть трехчлен в степени , равен сумме правильной
рациональной дроби со знаменателем, равным тому же трехчлену в степени
, и приводящегося к арктангенсу
(трансцендентная функция).
Отсюда следует, что рациональная часть интеграла от
правильной несократимой рациональной дроби равна
сумме правильных рациональных дробей , то есть представляет собой правильную
рациональную дробь
, знаменатель которой имеет вид
(Можно
показать, что есть наибольший общий делитель
многочленов
и
).
Сумма же простейших дробей, интегралы от которых дают
трансцендентные функции, очевидно, равна правильной рациональной дроби , знаменатель которой равен
.
(Многочлен
может быть вычислен делением
на
).
Таким образом ,
- формула Остроградского.
Так
как дроби и
правильные,
то
можно рассматривать как многочлен с неопределенными
коэффициентами степени на единицу ниже, чем
, а
- как многочлен с неопределенными
коэффициентами степени на единицу ниже, чем
. Для
вычисления неопределенных коэффициентов следует продифференцировать формулу
Остроградского, привести результат дифференцирования к общему знаменателю и
сопоставить коэффициенты при одинаковых степенях
в
числителях.
Примеры:
1. Применим метод Остроградского для вычисления интеграла
.
Решение:
.
Дифференцируя,
получим:
.
Далее найдем в правой части производную, приведем
правую часть к общему знаменателю. Получим равенство двух дробей с одинаковыми
знаменателями. Следовательно, равны числители. Приравнивая коэффициенты при
одинаковых степенях в числителях, получим систему
линейных уравнений, решая которые, найдем.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.