Математический анализ: Курс лекций (часть вторая "Интегральное исчисление функции одной переменной"), страница 6

(Доказательство непосредственно следует из п.п. 2 и 4 предыдущей теоремы).

2.7. Классы интегрируемых функций

Теорема: Всякая непрерывная на отрезке функция интегрируема на этом отрезке.

Доказательство:

Пусть функция непрерывна на отрезке . Тогда она ограничена и равномерно непрерывна на нем. Это означает, что : , Þ .

Пусть - произвольное разбиение отрезка такое, что . Рассмотрим отрезок . Пусть и причем , , (по второй теореме Вейерштрасса).

Тогда, т.к. , то

Отсюда следует, что , и функция интегрируема по Риману на .

Теорема: Всякая монотонная на отрезке функция интегрируема на этом отрезке.

Доказательство:

Пусть функция монотонна на отрезке и для определенности будем считать, что неубывающая, и . Очевидно, .

Рассмотрим произвольное разбиение

отрезка с диаметром , где – произвольное число.

Очевидно, что для любого частичного отрезка разбиения

Тогда

Имеем , - интегрируема на .

Замечание: Очевидно, что теорема верна и в случае, когда , т.к. в этом случае и .

2.8. Множество меры ноль по Жордану и Лебегу.

Критерий интегрируемости Лебега

Определение: Говорят, что множество точек числовой прямой имеет Жорданову меру ноль, если существует конечная система отрезков или интервалов, сумма длин которых меньше, покрывающая это множество.

Определение: Говорят, что множество точек числовой прямой имеет Лебегову меру ноль, если существует не более чем счетная система отрезков или интервалов, сумма длин которых меньше , покрывающей это множество.

Теорема: (критерий интегрируемости Лебега). Функция , ограниченная на отрезке , интегрируема на нем по Риману тогда и только тогда, когда множество ее точек разрыва имеет Лебегову меру ноль.

Следствие: Если функция ограничена на и множество ее точек разрыва имеет Жорданову меру ноль, то она интегрируема на по Риману. В частности, ограниченная на функция, имеющая конечное число точек разрыва, интегрируема по Риману на этом отрезке.

Доказательство:

Докажем, что функция , имеющая конечное число точек разрыва на интегрируема по Риману.

Зададим произвольное . Так как точек разрыва конечное число, то покроем их конечным числом, непересекающихся интервалов , сумма длин которых меньше чем ,

где

Точки отрезка, не входящие в , образуют множество: - объединение конечного числа непересекающихся отрезков. На каждом таком отрезке непрерывна, а следовательно (по теореме Кантора) и равномерно непрерывна. Выберем на каждом из этих отрезков разбиения такие, что колебание функции на каждом частичном отрезке разбиения меньше, чем . Тогда, объединяя все эти разбиения и точки , получим разбиение всего отрезка .