Математика \ Математический анализ

Математический анализ: Курс лекций (часть вторая "Интегральное исчисление функции одной переменной"), страница 15

сравним с , который, очевидно, сходится.

сравним с , который сходится при и расходится при

Следовательно,

3.2.2. Сходимость интегралов

от знаконеопределенных функций

Признак Абеля

Теорема: Пусть и определены на и обладают свойствами:

1) - непрерывна и - сходится;

2) - непрерывно – дифференцируема, ограничена, монотонна.

Тогда - сходится.

Доказательство:

Из ограниченности функции следует, что . Из сходимости следует, что

Имеем при

{по второй теореме о среднем}

Тогда по критерию Коши - сходится.

Признак Дирихле

Теорема: Пусть и определены на и обладают свойствами:

1) - непрерывна и , - ограниченная функция от ;

2) - непрерывно дифференцируема на , монотонна и .

Тогда - сходится.

Доказательство:

Пусть все интегралы , .

Тогда

По условию .

Пусть . Тогда

{по второй теореме о среднем}

и по критерию Коши - сходится.

Замечание: Можно показать, что признак Абеля является следствием признака Дирихле.

Примеры:

1. Исследовать на сходимость интеграл .

Решение

Пусть , .

монотонно убывает и ,

Условия признака Дирихле выполнены, следовательно,

- сходится.

2. Исследовать на сходимость интеграл .

Решение

Из решения предыдущего примера сходится.

Так как функция непрерывна на , в точке ее можно доопределить единицей, поскольку , а также она ограничена, то существует.

Следовательно, сходится.

3.3. Абсолютно сходящиеся интегралы

Теорема: Если несобственный интеграл сходится, то сходится и .

Доказательство:

Если интеграл сходится, то в силу критерия Коши , .

Но .

Тогда по критерию Коши - сходится.

Определение: Несобственный интеграл называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл .

Заметим, что обратная теорема не имеет места. Ранее мы показали, что сходится, покажем, что расходится.

Очевидно, .

сходится по признаку Дирихле (доказательство аналогично доказательству для), а - расходится.

Следовательно, расходится, и по признаку сравнения расходится .

Определение: В случае, если несобственный интеграл сходится, но не является абсолютно сходящимся, то говорят, что он сходится условно.

3.4. Главные значения несобственных интегралов

Пусть на задана функция , имеющая особую точку и интегрируема в каждой его части, не содержащей . Несобственный интеграл от до определяется равенством

при независимом предельном переходе по и .

Если этот предел не существует, то рассматривают предел того же выражения при . Если такой предел существует, то его называют (по примеру Коши) главным значением несобственного интеграла и обозначают символом

V. p. .

V. p. – “Valeurprincipale” – “главное значение”.

Заметим, что если существует как несобственный, то он, очевидно, существует и в смысле главного значения; обратное, вообще говоря, неверно.

Пример

как несобственный не существует, так как - не имеет определенного предела, если и , независимо друг от друга.

Если же , то - то получим выражение, не зависящее от . Таким образом, главное значение интеграла существует:

V. p. .

Понятие главного значения можно распространить и на случай нескольких особых точек (конечного числа) внутри промежутка, а также на случай промежутка , не имеющего внутри особых точек