Программа профильной лаборатории «Учебное исследование в математике», страница 20

Задача 12. Найдите все комплексные числа z, для которых z4 = 1; z4 = –1.

Если z4 = 1, то z2 = ±1. Далее, если z2 = 1, то z = ±1. Если же z2 = –1, то z = ±i. Так мы нашли четыре решения первого уравнения.

Пусть теперь z4 = –1. Тогда z2 = ± i. Далее, если z2 = i, то  (можно найти этот результат геометрическим рассуждением, а можно и алгебраически). Если же z2 = – i, то . Так мы нашли четыре решения второго уравнения.

Задача 13. Найдите все комплексные числа z, для которых z3 = 1, z3 = –1, z3 = i.

Задача 14. Найдите все комплексные числа z, для которых z2 = 1 + i .

Решение 1. Решение этого уравнения нам по сути дела уже известно. Его модуль равен , а его аргумент равен 22,5° = . Тем самым z = . Правда, мы пока не знаем, чему здесь равны значения синуса и косинуса. Но мы это сейчас узнаем!

Решение 2. Будем искать z в виде z = x + iy. Тогда z2 = (x + iy)2 = (x2y2) + 2ixy = 1 + i. Приравнивая порознь действительные и мнимые части, получаем систему:

Отсюда .

Следствие. Тем самым , .

Задача 15. Найдите все комплексные числа z, для которых z5 = 1.

Один корень этого уравнения мы знаем: это z = 1. Деля в столбик z5 – 1 на z – 1, приводим уравнение к виду (z – 1)(z4 + z3 + z2 + z + 1) = 0. Как нам справиться со второй скобкой? Разделив её на z2, получим уравнение . Сделаем замену . Вычислим . Тем самым имеем квадратное уравнение w2 + w – 1 = 0. Отсюда . Далее, из уравнения z2wz + 1 = 0 получаем . Отсюда

, , z5 = 1.

Тема 6. Тригонометрическое представление комплексного числа

Задача 16. Известно, что z + 1/z = 2cos l°. Найдите z60 + 1/z60.

Поскольку z + 1/z — действительное число, тем самым z лежит на единичной окружности. Удобно ввести обозначение Iα для единичного отрезка, повёрнутого на угол α. Но тогда z = I. Тем самым z60 = I60°. Поэтому z60 + 1/z60 = 2cos60° = 1.

Задача 17. Выведите формулы, выражающие cos(α + β) и sin(α + β) через cosα, sinα, cosβ, sinβ.

Представим соотношение Iα · Iβ = Iα+β в тригонометрическом виде: