Программа профильной лаборатории «Учебное исследование в математике», страница 15

Кстати сказать, команда «принеси один фломастер» запускает эту же самую программу. Робот начинает считать, но останавливается сразу же, на первом фломастере. Может быть, у него предусмотрена и другая программа: «принеси фломастер». Но по этой другой программе он идёт, находит первый попавшийся фломастер, кладёт его в сумку и возвращается ко мне. И он ничего не считает. А вот когда я прошу его принести один фломастер, он считает до одного. Так что «фломастер» и «один фломастер» — это вещи разные.

(б) Обыкновенные дроби.

В случае обыкновенных дробей команды усложняются, но идеология остаётся той же самой. Здесь появляется единичная мерка, которую можно делить на части: один метр, или один килограмм, или что-нибудь ещё. Мы отдаём роботу команду: «Принеси мне 5/8 метра верёвки». Он идёт в другую комнату, у него есть с собой мера длины под названием «метр» (или эта мерка уже лежит там, но без неё никак не обойтись), он делит эту меру на 8 равных частей и отмеряет от мотка верёвки 5 таких частей.

Кстати сказать, здесь всегда используются команды с двумя натуральными числами на входе. И команда «принеси мне 3 метра верёвки» — это не то же самое, что команда «принеси мне 3/1 метра верёвки», или «6/2», или «18/6». Потому что буквальные действия тут разные, совпадает только результат. Даже в случае «3/1» робот будет делить метр «на одну часть», а потом отмерять три получившихся части, уж так он устроен.

(в) Отрицательные числа.

С отрицательными числами всё становится заметно интереснее. Конечно, здесь есть модель «долг — имущество», и она объясняет нам, как складывать и вычитать противоположные числа. Но посмотрите: долг и имущество в этой схеме — они равноправны. Можно говорить о красных числах и синих числах, и ввести правила их сложения и вычитания. Но почему 1 ´ 1 = 1, а (–1) ´ (–1) = 1? Почему в умножении положительных и отрицательных чисел равноправия нет?

Чтобы разобраться с этим вопросом, рассмотрим модель, в которой материалом для построения числовой системы служат увеличительные и уменьшительные линзы. Представим себе, что перед нами лежит огромная коробка со всевозможными линзами. Возьмём какую-нибудь произвольную линзу и припишем ей единичную оптическую силу. (На практике такой линзой служит увеличительная линза с фокусным расстоянием в один метр — говорят, что она имеет оптическую силу в одну диоптрию.) Как определяется линза в 2 диоптрии? Мы подбираем две одинаковых линзы в одну диоптрию каждая, складываем из них «пакет» и подбираем линзу, которая действует так же, как этот пакет из двух линз. Так же — три, четыре, пять и т. д. диоптрий. Можно ввести и обыкновенные дроби. Например, что представляет собой линза в 1/3 диоптрии? Три таких одинаковых линзы, составленные в пакет, по оптической силе равны линзе в одну диоптрию.

Но у нас есть увеличительные и уменьшительные линзы, и их нужно завязать в одну систему. Что представляет собой линза в –1 диоптрию? Это такая линза, которая, будучи составленной в пакет с линзой в +1 диоптрию, даёт простое стекло — линзу в 0 диоптрий. Теперь система замкнулась.

Но правила умножения всё ещё не ведены. Потому что мы смотрим на линзы, а не на числа. Спросим себя, что представляет собой число 5? Можно сказать, что 5 — это метка на линзе в 5 диоптрий. А можно сказать и по-другому: что 5 — это такое преобразование, которое любую линзу делает в 5 раз сильнее. Была линза в +2 диоптрии — она становится линзой в +10 диоптрий, была линза в –3 диоптрии — она становится линзой в –15 диоптрий. (Можно диоптрии писать не с плюсами и минусами, а красные и синие.) А что такое число (–3)? Лучше всего будет сказать, что это сложная команда, которая состоит из двух простых команд: (–)·3. Команда 1 усиливает действие линзы в 3 раза, а команда (–) меняет линзу на противоположную. Поэтому (–3) · (–5) — это на самом деле (–) · 3 · (–) · 5. Здесь есть два изменения силы и два обращения. А поскольку от порядка действий результат не зависит, можно минусы сгруппировать вместе, но двойное обращение не меняет направления.