Программа профильной лаборатории «Учебное исследование в математике», страница 11

·  Место утверждений и доказательств в исследовании числовых закономерностей.

Основные цели - сконцентрировать опыт выполнения учащимися  исследования, сформировать представления  о математическом  исследовании как о процессе гипотезирования, а также о роли доказательств в исследовании математических объектов, ввести терминологию.

Для введения этой темы может использоваться тот же предметный материал, что и для предыдущей. Существенно, что гипотезирование, понимаемое как выдвижение предположений, оценка их правдоподобности (поиск обоснования  или опровержения) происходит на хорошо освоенном учащимися материале, что позволяет сконцентрироваться на форме утверждений и методах работы с ними.

Гипотезы и утверждения формулируются в форме «Если..., то…» или « ... тогда, и только тогда, когда…». Выделяются способы проверки истинности или ложности утверждений: построение примера (серии примеров), подтверждающего утверждение, анализ следствий, а также искусство нахождения контрпримера (примера, опровергающего утверждение).

Фиксируется проблема неприменимости полного перебора как способа доказательства для множеств с бесконечным количеством элементов. Доказательство истинности формул в общем виде является средством преодоления этого затруднения. В случае правильной организации анализа проблемы учащимся становится очевидно, что построение доказательства является необходимым этапом математического исследования.

При подведении итогов работы рекомендуется ответить на вопросы: "О каких новых способах работы в математике вы узнали?", "Что значит "проверить предположение", «опровергнуть гипотезу», «найти контрпример»?" и записать трактовки новых терминов.

В качестве зачетной (домашней) работы все учащиеся (или малые группы учащихся, если работа велась по группам) должны написать отчет о своем исследовании. Содержание и критерии оценки отчета заранее обсуждаются с учащимися.

Тема 7. Исследовательская задача как объект изучения

·  Представление об источниках исследовательских задач.

·  Представление о процессе математического исследования. Этапы исследования: исследовательский вопрос, анализ материала, гипотезирование, доказательство, изложение результатов.

·  Результаты исследования. Нормы изложения  результатов исследования.

·  Описание хода исследования. Проблемы описания и виды описаний.

Основная цель – систематизировать и обобщить представления учащихся о математическом исследовании, его этапах, содержании результатов исследования и  особой форме их представления.

Эта тема является заключительной в ряду тем, посвященных содержанию математического исследования. Материалом для анализа и рефлексии являются полученные при изучении предыдущих тем представления учащихся. Способом оценки представлений – соотнесение их с культурными образцами (изучение текстов).

Восстанавливая примеры источников исследовательских задач, учащиеся различают исходный материал, исследовательский вопрос и ту задачу, которая реально была решена. Обсуждается, было ли закончено исследование,  формулируются исходная и решенная задачи. Фиксируется, что именно исследовательский вопрос является источником математического исследования. Результаты обсуждения могут быть оформлены в схеме или записаны в виде тезисов.

Этапы исследования выделяются в коллективном обсуждении в результате сравнения хода решения нескольких исследовательских задач. Обсуждается необходимость и содержание этапов гипотезирования, поиска доказательства. Фиксируется, что у исследовательской задачи нет заранее известного способа решения. Выясняется, что ответом на исследовательский вопрос о свойствах математических объектов, т.е. результатом математического исследования служит теория, которая описывается на языке определений, теорем и доказательств, при этом четко различаются предположение, гипотеза  (правдоподобное утверждение) и теорема (доказанное утверждение). Результаты обсуждения оцениваются, уточняются и оформляются учащимися в виде  инструкции или «памятки начинающему исследователю».