Изучение темы начинается с подготовительного этапа - решения специально подобранной задачи, которая будет служить материалом для дальнейшего исследования (используется материал комбинаторики и теории чисел). Предметом исследования учащихся в данном случае является существенное отношение задачи. Вводится соответствующая терминология (аналогия, обобщение и т.д.).
В ходе коллективного обобщения задачи фиксируется не только его итог (общая формулировка и общий способ решения), но и важные промежуточные предположения, а также результаты их анализа (проверки, опровержения, дальнейшего обобщения). Результаты исследования фиксируются в виде истинных утверждений. В форме дискуссии учащиеся разбирают вопрос, можно ли достичь полученных результатов, не выдвигая промежуточных предположений.
При подведении итогов работы рекомендуется ответить на вопросы: "О каких новых действиях с задачей вы узнали?", "Что значит "исследовать задачу"?" и записать трактовки новых терминов.
В качестве зачетной (домашней) работы все учащиеся (или работавшие над вопросом малые группы учащихся) должны написать отчет о своем исследовании задачи. Содержание и критерии оценки отчета заранее обсуждаются, помимо этого, приводятся культурные образцы подобного рода текстов.
В этой теме отношение «задача - решение» наполняется новым содержанием. Само решение начинает относиться к определенному субъекту (я – решающий) в соответствии с этим рассматриваются две пары: задача – я (реальный решатель) и задача – «идеальный решатель». Обсуждаются характеристики решения «идеального решателя». Обсуждение этих вопросов возможно в конце изучения темы.
Тема 5. Математическое исследование. Шаг первый: наблюдение и обобщение
· Исследование как особое отношение «я - объект».
· Наблюдение и обобщение при исследовании свойств чисел. Выбор материала. Наблюдение (примеры числовых закономерностей). Понятие закономерности.
· Эмпирическое обобщение. Язык описания закономерности. Формула как средство записи утверждения о классе чисел.
Основные цели - конкретизировать представления учащихся о некоторых этапах математического исследования, а также развить представление об алгебраическом языке как средстве изучения свойств чисел.
Изучение темы начинается с выполнения задания, требующего от учащихся увидеть закон преобразования чисел, изменяющихся по одному и тому же правилу или стоящих в определенной числовой последовательности, т.е. подметить закономерность. От учащихся требуется проделать эмпирическое обобщение. Способом проверки может выступить придумывание чисел, удовлетворяющих выделенным закономерностям, для чего необходимо сделать описание найденной закономерности.
Выделенные закономерности фиксируются и описываются разными способами: словесная формулировка, математическая запись. Обсуждаются возможности и ограничения этих способов описания. Анализируются известные формы математических записей: формулы, уравнения, числовые «примеры», неравенства и т.п. Формула рассматривается как средство записи утверждения о классе чисел (например, об общем виде чисел, кратных данному).
Заключительный урок по данной теме проводится в форме мастерской «Числовые закономерности. Формулы», материалом которой являются придуманные учащимися числовые закономерности и описывающие их формулы (например, рекуррентные формулы, формулы n-ого члена и сумм арифметической и геометрической прогрессий).
Особое внимание уделяется ограничениям введенного способа работы с общими свойствами чисел.
Тема 6. Математическое исследование. Шаг второй: гипотезирование и доказательство
· Гипотезирование при исследовании числовых закономерностей. Истинные и ложные утверждения о классах чисел. Опровержение и подтверждение предположений. Правдоподобное предположение (гипотеза).
· Проблема доказательства утверждений для случая числовых закономерностей. Построение контрпримера как метод доказательства ложности утверждения. Применение метода математической индукции для доказательства истинности утверждения.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.