Планиметрия. Начальные теоремы. Площадь. Теорема Пифагора. Теорема косинусов, страница 9

Три окружности ,  и  попарно касаются друг друга внешним образом. Верно ли следующее утверждение: существует единственная окружность , которая касается трех данных внешним образом ?

В вершинах треугольника расположены центры трех попарно касающихся окружностей. Найдите радиусы этих окружностей, если стороны треугольника равны 5, 6, 7. Сколько решений имеет задача?

Даны три окружности с центрами ,  и , которые попарно касаются друг друга внешним образом. Доказать, что окружность вписанная в треугольник  проходит через точки касания данных трех окружностей.

Построить окружность заданного радиуса, которая касается двух данных окружностей.

Построить окружность, которая касается данной окружности  в заданной точке A и проходит через заданную точку B.

Две окружности радиусами  и  касаются внешним образом. Найти площадь фигуры, заключенной между окружностями и их общей внешней касательной.

Две окружности касаются внешним образом в точке A, BC - их общая касательная, пересекающая линию центров в точке D. Через точку D проведена прямая MN, перпендикулярная BC. Прямые AB и AC пересекают MN в точках P и Q. Доказать, что DP=DQ.

Задачи.

Задан квадрат ABCD со стороной 2 и построены две окружности: первая на стороне BC как на диаметре, вторая- с центром в точке D и радиусом 2. Найти радиус третьей окружности, которая касается стороны AB и двух данных окружностей.

Задан квадрат ABCD со стороной 3 и построены две окружности: первая имеет радиус 1 и касается сторон AD и AB, вторая- с центром в точке С и радиусом 3. Найти радиус третьей окружности, которая касается стороны AD и двух данных окружностей.

Задан квадрат ABCD со стороной 2 и построены две окружности: первая- вписанная в квадрат, вторая- с центром в точке А и радиусом 2. Найти радиус третьей окружности, которая касается стороны CD и двух данных окружностей.

Задан квадрат ABCD со стороной 1. Найти радиус окружности, которая касается стороны AD, диагонали AC и окружности, описанной около квадрата.

Площадь  равна 12, радиус вписанной окружности равен , а расстояние от ее центра до вершины С равно . Найти стороны треугольника.

Правильный  со стороной  делится отрезком BD на два треугольника так, что радиусы окружностей, вписанных в  и в  относятся как . Найти радиусы этих окружностей.

Окружности  и  касаются друг друга внешним образом в точке A, отрезок AB - диаметр окружности . Длины отрезков, отсекаемых окружностями на некоторой прямой, проходящей через точку B. равны 2, 3 и 4, считая от точки B. Найти радиусы окружностей.

Дан ромб ABCD. Окружность радиуса R описана около  и проходит через центр окружности, вписанной в . Найти площадь ромба.

Расстояние между центрами окружностей  и  равно 5R, их радиусы равны соответственно R и 7R. Хорда окружности  касается окружности  и делится точкой касания в отношении 1:6. Найти длину этой хорды.

Окружность  радиуса 3 касается продолжения стороны AB угла ABC, ее центр лежит на стороне BC. Окружность  радиуса 1 касается сторон угла ABC и окружности . Найти угол ABC.

Три круга радиусом R каждый касаются внутренним образом круга радиуса 2R. Углы треугольника, образованного точками касания, острые и равны a, b, c. Найти площадь части большого круга, получающейся после выбрасывания всех трех меньших кругов.

В прямоугольном  катеты AB=3 AC=6. Центры окружностей радиусов 1, 2 и 3 находятся соответственно в точках A, B и C. Найти радиус окружности, которая касается каждой из трех данных внешним образом.

1 Две окружности радиусами  и  () внутренне касаются друг друга в точке A. Хорда CD большей окружности перпендикулярна диаметру AB меньшей окружности, E - одна из точек пересечения CD с меньшей окружностью. Найти радиус окружности, описанной около треугольника AEC.

1 В окружности радиуса  проведены два взаимно перпендикулярных радиуса OA и OB. Вторая окружность такого же радиуса  имеет центр в точке B. Найти радиус третьей окружности, которая касается отрезка OA, первой окружности внутренним образом и второй окружности внешним образом.