Планиметрия. Начальные теоремы. Площадь. Теорема Пифагора. Теорема косинусов, страница 7

В параллелограмме ABCD сторона BC вдвое больше стороны AB. Окружность, проходящая через вершины A, B, C, пересекает продолжение стороны AD в точке M и продолжение стороны CD в точке K. Известно, что AM=15, CK=12. Найти площадь параллелограмма.

Дана окружность радиуса R На расстоянии 2R от центра окружности выбрана точка A. Из этой точки проведены касательная и секущая, причем секущая равноудалена от центра окружности и точки касания. Найти длину хорды, отсекаемой окружностью на секущей.

Длина диагонали AC выпуклого четырехугольника ABCD равна . Углы ABC, ACD и DAC равны соответственно ,  и . Найти радиус окружности, описанной около треугольника ABD.

Треугольник ABC равнобедренный с основанием AC. Окружность радиусом R с центром O проходит через точки A и B и пересекает сторону BC в точке M. Найти расстояние от точки O до центра окружности описанной около треугольника ACM.

Окружность, вписанная в , делит медиану BM на три равных отрезка. Найти отношение длин сторон .

В треугольнике центры вписанной и описанной окружностей расположены симметрично относительно одной из сторон. Найти углы треугольника.

Две окружности радиусами  и  внутренне касаются друг друга в точке A. Через точку B, лежащей на большей окружности, проведена прямая, касающаяся меньшей в точке C. Найти длину отрезка AB, если  

В окружность вписан прямоугольник со сторонами 6 и 8. Из некоторой точки M данной окружности на диагонали прямоугольника опущены перпендикуляры MP и MQ. Доказать, что длина отрезка PQ не зависит от выбора точки M, и найти длину отрезка PQ.

Вписанная в многоугольники окружность.

Упражнения

Докажите, что если в многоугольник можно вписать окружность, то справедлива формула , где ,  - площадь и полупериметр многоугольника, - радиус вписанной окружности.

В трапецию, периметр которой равен 42, вписана окружность. Три взятые последовательно стороны трапеции относятся как 2:7:12. Найти все стороны трапеции.

Окружность касается сторон угла. Найти величину этого угла, если расстояние от его вершины до ближайшей точки окружности равно радиусу окружности.

Доказать, что радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с катетами  и гипотенузой  можно вычислить по формуле .

В прямоугольную трапецию с основаниями  вписана окружность. Найти радиус окружности.

В равнобедренную трапецию с основаниями  вписана окружность. Найти радиус окружности.

В равнобедренную трапецию с основаниями  вписана окружность. Найти длину диагонали трапеции.

В трапецию вписана окружность. Найти отношение периметра трапеции к длине средней линии.

В равнобедренную трапецию вписана окружность. Отношение оснований трапеции равно . Найти угол при большем основании.

К окружности, вписанной в , проведены три касательные, параллельные сторонам треугольника. Периметры трех треугольников, отсеченных этими прямыми от . равны . Найти периметр .

В треугольник, стороны которого относятся как , вписан круг. Найти отношение, в котором каждая из сторон делится точкой касания.

В равнобедренную трапецию вписана окружность радиуса R. Основания трапеции относятся как 1:3. Найти стороны трапеции.

В равнобедренную трапецию вписана окружность радиуса R. Найти площадь трапеции. если известно, что расстояние между точками касания с боковыми сторонами равно .

В  площади S вписана окружность радиуса R, которая касается сторон AC и BC в точках M и N так, что AM:MC=2:3, BN:NC=5:6. Найти длину стороны AC.

В равнобедренную трапецию ABCD с углом  при основании AD вписана окружность радиуса R. Найти площадь четырехугольника, вершинами которого являются точки касания.

Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку A проведена прямая, пересекающая эти окружности в точках C и D. В точках C и D к окружностям проведены касательные, которые пересекаются в точке E. Доказать, что около четырехугольника BCED можно описать окружность.