Планиметрия. Начальные теоремы. Площадь. Теорема Пифагора. Теорема косинусов, страница 3

Две окружности радиусов  и  касаются сторон данного угла и друг друга. Найти радиус третьей окружности, касающейся сторон этого же угла, центр которой находится в точке касания двух данных окружностей.

Точки K, M и N взяты соответственно на сторонах AC, AB и BC треугольника ABC так, что прямая KM параллельна BC, а прямая KN параллельна AC. Площади треугольников AKM и BKN равны S₁ и S₂. Найти площадь треугольника ABC.

Через точку, лежащую внутри треугольника ABC параллельно его сторонам проведены три прямые, которые делят треугольник ABC на шесть частей – три тругольника и три четырехугольника. Площади получившихся треугольников равны S₁, S₂ и S₃. Найти площадь треугольника ABC.

Дан правильный треугольник ABC со стороной 2. Через середину стороны AB точку M проведена прямая, пересекающая сторону AC в точке N и продолжение стороны BC в точке D. Известно, что площади треугольников AMN и DNC равны. Найти длину отрезка MN.

Параллельные прямые. Трапеция.

Упражнения.

Одна из диагоналей трапеции делится точкой пересечения на отрезки длиной 2 и 3. Меньшее основание трапеции равно . Найти большее основание.

Показать, как произвольные треугольник разрезать на три трапеции.

Доказать, что в трапеции точка пересечения диагоналей, точка пересечения продолжений боковых сторон и середины обоих оснований лежат на одной прямой.

В трапеции с основаниями длиной  и  проведена прямая параллельно основаниям, которая делит трапецию на две равновеликие части. Найти длину отрезка этой прямой внутри трапеции.

В трапеции с основаниями длиной  и  через точку пересечения диагоналей проведена прямая параллельно основаниям. Найти длину отрезка этой прямой внутри трапеции.

В трапеции с основаниями длиной  и  найти длину отрезка, соединяющего середины диагоналей.

В трапеции с основаниями длиной  и  Две прямые, параллельные основаниям, делят боковую сторону трапеции на три равные части. Найти отрезки этих прямых, лежащие внутри трапеции.

В трапеции ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке О. Известно, что площади треугольников BOC и AOD равны  и . Найти площадь трапеции.

В трапеции с основаниями длиной  и  боковые стороны при продолжении пересекаются под прямым углом. Найти длину отрезка, соединяющего середины оснований.

Диагональ трапеции делит ее на два подобных треугольника. Отношение боковых сторон трапеции равно 2. Найти отношение оснований трапеции.

В трапеции ABCD известны основания AD=7, BC=3. Прямая, параллельная основаниям, пересекает боковые стороны AB и CD в точках K и M. Известно, что AK:KB=7:3. Найти длину KM.

В трапеции с основаниями длиной  и  проведена прямая параллельно основаниям, которая делит трапецию на две подобные между собой трапеции. Найти длину отрезка этой прямой внутри трапеции.

В трапеции ABCD боковая сторона AB=, Середина M боковой стороны CD удалена от прямой AB на расстояние . Найти площадь трапеции.

Задачи

В треугольнике ABC AB=BC. На стороне AB и на продолжении стороны BC за вершину C взяты точки P и Q так, что AP=CQ. Доказать, что отрезок PQ делится точкой пересечения со стороной AC пополам.

В равнобедренной трапеции ABCD основание AB=2, угол А =. Диагональ BD, биссектриса угла А и высота CK пересекаются в одной точке. Найти длину основания CD.

В трапеции ABCD с основаниями AD и BC биссектриса угла A проходит через середину M боковой стороны CD. Известно, что AB=5, AM=4. Найти длину BM.

В трапеции ABCD основание BC=5, боковая сторона AB=10. Биссектриса угла A перпендикулярна боковой стороне CD и пересекает ее в точке M. Найти длину AM, если известно, что CM=3.

В равнобедренной трапеции ABCD основание AB=3, угол А =. Диагональ AC, и биссектрисы углов B и D пересекаются в одной точке. Найти длину основания CD.

В трапеции ABCD с основаниями AB=5 и CD=3 боковая сторона AD перпендикулярна основаниям. На сновании CD как на диаметре построена окружность, которая пересекает диагонали AC и BD в точках F и E. Известно, что E середина BD. Найти, в каком отношении точка F делит отрезок AC.